Üçgen Bahçe

Bu zamana kadar gördüğüm soruların en ilginçlerinden birini sizlerle paylaşıp, yorumunuza sunmak istiyorum. Soru basit gibi ama bence yine de tartışmaya açık.

Çeşitkenar üçgen şeklindeki bir bahçenin belli bir yerine bir aydınlatma direği dikilecektir. Bu direkteki lambanın aydınlattığı bölgenin yarıçapı, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapından küçük ise , bahçenin mümkün olan en fazla bölgesini aydınlatabilmesi için direk nereye dikilmelidir?

a)Kenarortayların kesim noktasına
b)Açıortayların kesim noktasına
c)Yüksekliklerin kesim noktasına
d)Kenar orta dikmelerin kesim noktasına

e)Hiçbiri

eğer yanlış bişeyler yapmıyorsam bu noktanın yeri üçgenin açılarına ve lambanın aydınlatma yarıçapına bağlı olarak değişkenlik gösteriyor. bayağı bi zaman harcadım ama tam olarak noktanın yerini de bulamadım açıkcası ama şundan eminim üçgenin açılarına ve aydınlatma yarıçapına bağlı olarak 4 şıkta da verilen noktaların en iyi yer olmadığı durumlar mevcut.

Üstadım, bu soru bir deneme testi sorusuydu. Bu da geçmişimde kalan sorulardan biriydi. Bunun üzerinde de tartışmıştık ama yine tam bir yanıt bulamamıştık. Ama hiçbiri denilebileceğini zannetmiyorum da verilen noktalardan hangisi olabileceğini kestiremedim.Daha tam olarak da uğraşamadım. Mesela aydınlatma yarıçapı, iç teğet çemberinin yarıçapına eşit olsa, açıortayların kesim noktası diyebiliriz ama diğer durumlarda da bu geçerli mi bilemiyorum Ya da herhalükarda merkezi kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak tutup çevrel çemberin simetriği olacak biçimde aydınlatma yapılabilir gibime geliyor.

hocam ben soru üzerinde en az 2 saat uğraştım kabaca birşeyler de buldum ama ne bir koordinat ne de şu noktadır denebilecek durumda. şunu söyleyebilirim direğin dikileceği nokta aydınlatma yarıçapı ve üçgenin açılarının bir fonksiyonu olarak tanımlanıyor.

bu sorunun cevabı yukarıdaki şıklardan birisi değil
şu şekilde gösterebiliriz
r-içteğet çemerin yarıçapı
R-çevrel çemberin yarıçapı
I-içteğet çemberin merkezi
O-çevrel çemberin merkezi

aydınlatma yarıçapı r+d olsun (d→0) o zaman direğin I'ya dikilmesi gerektiği açıktır
aydınlatma yarıçapı R-d olsun (d→0) o zaman direğin O'ya dikilmesi gerektiği açıktır

bu haliyle bile aydınlatma yarıçapı r ye yakınken 3 şıkkı , aydınlatma yarıçapı R ye yakınken de 3 şıkkı eliyoruz.

Üstadım, dediğim gibi bu soru bir deneme sınavı sorusuydu. Soruyu hazırlayan kişiyi tanısam soracaktım, nerden aklına geldi böyle bir soru ve sen sorunun cevabını biliyor musun diye. Sorunun çözümsüz olma ihtimali de vardır tabi.
Yalnız bir itirafta bulunayım, sorunun aslında aydınlatma yarıçapının, çevrel çemberin yarıçapından küçük olma durumu verilmemişti, onu ben ekledim. O durumdayken soru daha da karmaşıktı bana göre. Aydınlatma yarıçapına sınır getirilmezse soru daha da karışıyordu. O zaman çok büyük yarıçaplı bir aydınlatmayla bahçenin her yerine dikilebilirdi. Şimdi sorunun bu haliyle mümkün olan en fazla aydınlatmayı sağlamak için bence rastgele bir nokta olacağını zannetmiyorum. Muhtemelen üçgenin özel noktalarından biri olması gerekir diye düşünüyorum. Belki burada olmayan özel bir nokta olabilir. Sizin dediğiniz de doğru. İç açılara göre ve yarıçapa göre durum değişecektir ama bunları gözardı ederek mümkün olan en fazla aydınlatma düşünülmeli.

Şimdi aklıma geldi. Bence aydınlatma yarıçapına alt sınır da getirilmeli. Şıklarda verilen noktaların kenarlara uzaklıklarından daha küçük bir yarıçap olursa o zaman 4 şık da doğru olur.
Üstadım, soru çok saçma gibi. Üzerinde fazla düşünmeye gerek yok ama bu sorunun hoşuma giden tarafı, matematiğin günlük hayatta uygulanmasına dair çok güzel bir örnek olması. Ya da ben öyle görüyorum. Şimdi diyeceksiniz ki bir bahçenin kenar uzunlukları, ve açıları belli ise, lambanın aydınlatma yarıçapı da biliniyorsa, rahatlıkla en fazla aydınlatmanın yapılacağı nokta hesaplanabilir Ama bu soruyu ben şöyle anlamak istiyorum. Sizin pisagor bilmeyen öğrenciye yarıçap hesaplatmanız gibi, yarıçap, kenar ve açılar bilinmeden sadece özel noktalar üzerinden sorunun cevaplanması.

soruyu şimdi gördüm, çok hoşuma gitti, bir şey sorayım, burda direğin yerinden bahsediliyor, ışık kaynağıda direğin üztinde olacak zaten
sorum şu; ışık kaynağı direği merkez kabul edip direğin etrafında merkezi direk olacak şekilde aydınlık bir çember oluşturyor diye düşüneceğiz değil mi? (normalde ışık kaynaklar direğe o şekilde bağlanmaz ama ben soruyu o şekilde anladım, ondan soruyorum)

Aynen öyle öğretmenim,siz de yorumlayın bir bakalım.Gerçekten ilginç bir soru değil mi?

üzerinde çok ayrıntılı düşünmedim ama bana ilk etepta böyle bir nokta varsa kesinlikle iç teğet çemberinin merkezi olmalı gibi geliyor, çünkü başka herhangi bir nokta kabul ederseniz, aydınlanan bölgenin yarıçapına bağlı olarak yarıçap için uygun bir değer ayarlayıp iç teğet çemberinin merkezine konulduğunda bu herhangi noktadan daha çok aydınlatacağını göstermek çokta zor değildir.

sorun şu; iç teğet çemberinin merkezine dikilirse her zaman daha çok aydınlatır konusu üzerinde fazla düşünemedim,ama diğer bütün noktaları eleyecek durum oluşturmak mümkün

Öğretmenim soruya bu haliyle iyi bir kafa yormak gerekiyor. Üçümüzün yaptığı yorum da mantıklı. Tek nokta bulmak imkansız gibi gözüküyor. Üstadın dediği gibi, yarıçapın büyüklüğüne bağlı olarak yer değişecektir. Yarıçapı ve açıları gözardı ettiğinizde ise soru tam bir arapsaçı oluyor. Ben daha kağıt kalemi elime alıp soruyla uğraşmadım. Sadece mantığımla bulduklarımı yazıyorum. Ama içimden bir ses, eğer yarıçap, yukarıda bahsettiğim sınırlar arasında olduğu varsayılıp gözardı edildiğinde sabit bir nokta tespit edilebilir diyor ama iyi bir hesap lazım bunun için. Benim kafa şimdi onu yapacak durumda değil. Uğraşmak isteyen olursa diye yazdım soruyu.