Üçgenin ağırlık merkezinin ispatı

Merhaba sevgili arkadaşlar ve hocalarım. Ben bi soru sorucam. Üçgenin ağırlık merkezinin 2 ye 1 oranında böldüğünü çoğu okumuş insan bilir. Peki bu neden böyledir? ispatı nasıl yapılıyor? Ben Kocaeli üniversitesinde okuyorum. Bir keresinde sınıfa biri gelip bunu ispatlamıştı. integral ve moment kullanarak yapmıştı ama ben unuttum nasıl yapıldığını Şimdi gece gece aklıma takıldı. Nasıl yapılacağı hakkında yardımcı olursanız sevinirim. Şimdiden teşekkürler.

Merhaba.

İki türlü merkez var. Birisi üçgensen bölge (içi dolu olan), diğeri içi boş üçgen. ikisinin ağırlık merkezi farklı. İçi boş olanınkinin burada yazımızın sonunda link olarak ispatı var.

Öncelikle merhabalar.

Belki zaten yapılmış tartışmayı gündeme getirmek olacak ama yazmadan geçemedim. Linkteki sayfayı okudum ve orada ele alınan nokta zaten bilinen (ki ispatı veren de belirtmiş) "Spieker noktası" yani ağırlık merkezi değil. Daha türkçesi uzun yıllar önce yabancı kaynaklar tarafından verilen şeyin türkçeleştirilmesi olmuş. Belki oradaki yorumlara eklesem daha iyi olurdu ama neyse ben buraya yazdım.

İki tür merkez var demenizi doğru bulmuyorum. 15 tür merkez de tanımlanabilir. Belki 16 ya da daha fazla. Bir üçgenin yüksekliklerinin karşı kenarı (veya uzantısını) kestiği noktaları birleştirerek elde ettiğiniz üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasına "sarı çizmeli mehmet ağa" noktası diyelim. Bu da bir merkezdir.

Verilen linkteki ispatta homojen ve türdeş üç çubuğun bir araya getirilmesi ile elde edilen üçgensel içi boş cismin ağırlık merkezi bulunmuş. Zaten bu da linkte verilen yazının giriş kısmında yazıyor. Fakat üçgenin ağırlık merkezi olarak üçgenin köşelerine konan noktasal eşit kütlelerin oluşturduğu sistemin ağırlık merkezi kastedilir ki bu da kenarortayların kesim noktasıdır.

Kartondan bir üçgen asla yapamazsınız. Yapabileceğiniz üçgensel bir gölge veya iki üçgensel bölge arasında kalan bölge olabilir. Kartonu ne kadar ince keserseniz kesin elde ettiğiniz şeklin her kenarı mutlaka bir dörtgen olacaktır. Bu sıfır ile on üzeri eksi bir milyar arasındaki fark gibidir.

Özetle matematikte tanımlamalar çok önemlidir ve üzülerek söylüyorum ki Türkçemiz hala bilim dili olmadığı için bu tür spekülasyonlar kafa karıştırıcı olabiliyor. Dikkatli olmamız gerekir.

Son olarak belki bazılarınızı üzmüş olacağım (lütfen alınmayın) ama üçgenin ağırlık merkezi kenarortayların kesişim noktasıdır.

Evet bu tartışma konusudur. Hocam oradaki ispatta dikkat edeceğimiz gibi Spieker noktası şöyle tanımlanmış: Üçgenin çevresinin ağırlık merkezdir. Böyle ise üçgensel bölge ile üçgen ifadelerini ayırmak gerekir. Üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenarortayların kesim noktası, Üçgenin (üçgenin çevresinin) ağırlık merkezdi Spieker noktasıdır demek daha yerinde olacaktır.

Her zaman içi boş olan bir üçgenle uğraşmıyoruz geometride. Bir üçgen prizmanın tabanının ağırlık merkezi bulmak istediğimizde ne yapacağız?

Tartışma uzar gider. Spieker noktası 1929 yılında tanımlanmış ve üçgenin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir denmiş. Bu tanım yaklaşık yüz yıldır zaten var. Bunu kalkıp türkçe kelimelerle ifade edip yapılan işin altına da referans göstermeden kendi imzamı atarsam ayıp ve etik olarak çok büyük bir yanlış yapmış olurum.

Çok da güzel bir örnek verdiniz. Geometride ağırlık merkezi olarak ifade edilen kavram (centroid, center of mass) aslında içi dolu şeklin homojen bir levha olarak ele alınmasıyla bulunan fiziksel ağırlık merkezidir ve integrallerle bulunur (genelde homojen olmayan bir levha durumunda integral kullanılır çünkü homojen olma durumunda zaten geometriden bilinen ağırlık merkezi kullanılır.)

Neyse tartışmanın gereksiz uzamaması için daha fazla yorumda bulunmayacağım.

Selamlar.

Hocam benim ağırlık merkezi diye bahsettiğim spieker noktası değil.Kenarortayların kesim noktası olan ağırlık merkezi.