a,b ∈ R ve i2= −1 olmak üzere Z = a + bi biçiminde tanımlı Z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. Z = a + bi karmaşık sayısında;
1) a'ya Z nin gerçel (reel) kısmı (Re(Z) = a) denir.
2) b'ye Z nin sanal (imajiner) kısmı (Im(Z) = b) denir.
√−1 = i
√−a = √(−1).a = √a.i
i1 = i
i2 =−1
i3 =−i
i4 = 1
i4n+1 = i
i4n+2 =−1
i4n+3 =−i
i4n = 1
Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
Z = a + bi karmaşık sayısı için Z = a − bi sayısına Z nin eşleniği denir. [Z = 2 + 3i ise Z = 2 − 3i]
Karmaşık Sayılarda İşlemler
Z1 = a + bi ve Z2= c + di karmaşık sayıları için:
1) (a = c) ve (b = d) ise Z1 = Z2 dir.
2) Z1± Z2 = (a±c) + (b±d)i
3) Z1.Z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
4) Z1.Z1 = a2 + b2
5) Z1/Z2=(Z1.Z2)/(Z2.Z2)=(ac+bd)/(c2+d2) + (bc − ad)i/(c2 + d2)
1) a'ya Z nin gerçel (reel) kısmı (Re(Z) = a) denir.
2) b'ye Z nin sanal (imajiner) kısmı (Im(Z) = b) denir.
√−1 = i
√−a = √(−1).a = √a.i
i1 = i
i2 =−1
i3 =−i
i4 = 1
i4n+1 = i
i4n+2 =−1
i4n+3 =−i
i4n = 1
Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
Z = a + bi karmaşık sayısı için Z = a − bi sayısına Z nin eşleniği denir. [Z = 2 + 3i ise Z = 2 − 3i]
Karmaşık Sayılarda İşlemler
Z1 = a + bi ve Z2= c + di karmaşık sayıları için:
1) (a = c) ve (b = d) ise Z1 = Z2 dir.
2) Z1± Z2 = (a±c) + (b±d)i
3) Z1.Z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
4) Z1.Z1 = a2 + b2
5) Z1/Z2=(Z1.Z2)/(Z2.Z2)=(ac+bd)/(c2+d2) + (bc − ad)i/(c2 + d2)
ÖRNEK 1:
z=i+i²+....+i33
olduğuna göre, Re(z)+Im(z) kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
i+i²+....+i33 Toplamının sonucunu bulmak için 33 sayısını 4'e böleriz. Kalan 1 olacağından işlemin sonucu i¹ olacaktır.
z=i olacağından Im(z)=1 ve Re(z)=0 olacaktır.
Dolayısıyla Im(z)+Re(z)=1+0=1 bulunur.
z=i+i²+....+i33
olduğuna göre, Re(z)+Im(z) kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
i+i²+....+i33 Toplamının sonucunu bulmak için 33 sayısını 4'e böleriz. Kalan 1 olacağından işlemin sonucu i¹ olacaktır.
z=i olacağından Im(z)=1 ve Re(z)=0 olacaktır.
Dolayısıyla Im(z)+Re(z)=1+0=1 bulunur.
ÖRNEK 2:
p(x)=2x⁵-x³+3x²+4x+5
olduğuna göre P(i) ifadesi neye eşittir ?
ÇÖZÜM 2:
p(i)=2i⁵-i³+3i²+4i+5
=2i+i-3+4i+5
=2+7i
p(x)=2x⁵-x³+3x²+4x+5
olduğuna göre P(i) ifadesi neye eşittir ?
ÇÖZÜM 2:
p(i)=2i⁵-i³+3i²+4i+5
=2i+i-3+4i+5
=2+7i
ÖRNEK 3:
Karmaşık sayılar üzerinde * işlemi
z₁*z₂=z₁+z₂+|z₁.z₂|
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (1-2i)*(2+i) işleminin sonucu kaçtır ?
2007 ÖSS
ÇÖZÜM 3:
(1-2i)*(2+i)=1-2i+2i+2+i+|(1-2i).(2+i)|
=3-i+|1-2i|.|2+i|
=3-i+√5.√5
=8-i bulunur.
Karmaşık sayılar üzerinde * işlemi
z₁*z₂=z₁+z₂+|z₁.z₂|
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (1-2i)*(2+i) işleminin sonucu kaçtır ?
2007 ÖSS
ÇÖZÜM 3:
(1-2i)*(2+i)=1-2i+2i+2+i+|(1-2i).(2+i)|
=3-i+|1-2i|.|2+i|
=3-i+√5.√5
=8-i bulunur.
ÖRNEK 4:
z=3i+(4+x)
q=y+(x+1)i
Im(z)+Im(q)=5
Re(z)=Re(q) ise
x+y nedir ?
ÇÖZÜM 4:
Im(z)=3
Im(q)=x+1
Im(z)+Im(q)=3+x+1=5 => x=1 bulunur.
Re(z)=Re(q) ise
4+x=y ise 5=y olur.
x+y=5+1=6 bulunur.
z=3i+(4+x)
q=y+(x+1)i
Im(z)+Im(q)=5
Re(z)=Re(q) ise
x+y nedir ?
ÇÖZÜM 4:
Im(z)=3
Im(q)=x+1
Im(z)+Im(q)=3+x+1=5 => x=1 bulunur.
Re(z)=Re(q) ise
4+x=y ise 5=y olur.
x+y=5+1=6 bulunur.
Diğer çözümlü sorular alttadır.