MatematikTutkusu.com Forumları

Karmaşık Sayılar, Özellikleri, Karmaşık Sayılarda İşlemler

Alp - ait kullanıcı resmi (Avatar) Alp 07:20 07 Şub 2011 #1
a,b ∈ R ve i2= −1 olmak üzere Z = a + bi biçiminde tanımlı Z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. Z = a + bi karmaşık sayısında;
1) a'ya Z nin gerçel (reel) kısmı (Re(Z) = a) denir.
2) b'ye Z nin sanal (imajiner) kısmı (Im(Z) = b) denir.

−1 = i
−a = √(−1).a = √a.i
i1 = i
i2 =−1
i3 =−i
i4 = 1
i4n+1 = i
i4n+2 =−1
i4n+3 =−i
i4n = 1

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

Z = a + bi karmaşık sayısı için Z = a − bi sayısına Z nin eşleniği denir. [Z = 2 + 3i ise Z = 2 − 3i]

Karmaşık Sayılarda İşlemler
Z1 = a + bi ve Z2= c + di karmaşık sayıları için:
1) (a = c) ve (b = d) ise Z1 = Z2 dir.
2) Z1± Z2 = (a±c) + (b±d)i
3) Z1.Z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
4) Z1.Z1 = a2 + b2
5) Z1/Z2=(Z1.Z2)/(Z2.Z2)=(ac+bd)/(c2+d2) + (bc − ad)i/(c2 + d2)

duygu95 - ait kullanıcı resmi (Avatar) duygu95 12:48 01 Nis 2012 #2
ÖRNEK 1:

z=i+i²+....+i33

olduğuna göre, Re(z)+Im(z) kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:


i+i²+....+i33 Toplamının sonucunu bulmak için 33 sayısını 4'e böleriz. Kalan 1 olacağından işlemin sonucu i¹ olacaktır.

z=i olacağından Im(z)=1 ve Re(z)=0 olacaktır.

Dolayısıyla Im(z)+Re(z)=1+0=1 bulunur.

duygu95 - ait kullanıcı resmi (Avatar) duygu95 12:49 01 Nis 2012 #3
ÖRNEK 2:

p(x)=2x⁵-x³+3x²+4x+5

olduğuna göre P(i) ifadesi neye eşittir ?

ÇÖZÜM 2:

p(i)=2i⁵-i³+3i²+4i+5

=2i+i-3+4i+5

=2+7i

duygu95 - ait kullanıcı resmi (Avatar) duygu95 12:50 01 Nis 2012 #4
ÖRNEK 3:

Karmaşık sayılar üzerinde * işlemi

z₁*z₂=z₁+z₂+|z₁.z₂|

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (1-2i)*(2+i) işleminin sonucu kaçtır ?

2007 ÖSS

ÇÖZÜM 3:

(1-2i)*(2+i)=1-2i+2i+2+i+|(1-2i).(2+i)|

=3-i+|1-2i|.|2+i|

=3-i+√5.√5

=8-i bulunur.

duygu95 - ait kullanıcı resmi (Avatar) duygu95 12:56 01 Nis 2012 #5
ÖRNEK 4:

z=3i+(4+x)

q=y+(x+1)i

Im(z)+Im(q)=5

Re(z)=Re(q) ise

x+y nedir ?

ÇÖZÜM 4:

Im(z)=3

Im(q)=x+1

Im(z)+Im(q)=3+x+1=5 => x=1 bulunur.

Re(z)=Re(q) ise

4+x=y ise 5=y olur.

x+y=5+1=6 bulunur.





Diğer çözümlü sorular alttadır.
Karmaşık Sayı Formülleri
Tüm Etiketler

Üst Forum
Anasayfa
Yukarı Standart Görünüm