Sinüs ve Kosinüs Dönüşümleri

sin 1x = sin
sin 2x = 2cos sin
sin 3x = -sin³+3cos²sin
sin 4x = -4cos sin³+4cos³sin
sin 5x = sin⁵-10cos²sin³+5cos⁴sin
sin 6x = 6cos sin⁵-20cos³sin³+6cos⁵sin
sin 7x = -sin⁷+21cos²sin⁵-35cos⁴sin³+7cos⁶sin
sin 8x = -8cos sin⁷+56cos³sin⁵-56cos⁵sin³+8cos⁷sin
sin 9x = sin⁹-36cos²sin⁷+126cos⁴sin⁵-84cos⁶sin³+9cos⁸sin
sin 10x = 10cos sin⁹-120cos³sin⁷+252cos⁵sin⁵-120cos⁷sin³+10cos⁹sin
sin 11x = -sin¹¹+55cos²sin⁹-330cos⁴sin⁷+462cos⁶sin⁵-165cos⁸sin³+11cos¹⁰sin
sin 12x = -12cos sin¹¹+220cos³sin⁹-792cos⁵sin⁷+792cos⁷sin⁵-220cos⁹sin³+12cos¹¹sin
sin 13x = sin¹³-78cos²sin¹¹+715cos⁴sin⁹-1716cos⁶sin⁷+1287cos⁸sin⁵-286cos¹⁰sin³+13cos¹²sin
sin 14x = 14cos sin¹³-364cos³sin¹¹+2002cos⁵sin⁹-3432cos⁷sin⁷+2002cos⁹sin⁵-364cos¹¹sin³+14cos¹³sin
sin 15x = -sin¹⁵+105cos²sin¹³-1365cos⁴sin¹¹+5005cos⁶sin⁹-6435cos⁸sin⁷+3003cos¹⁰sin⁵-455cos¹²sin³+15cos¹⁴sin
sin 16x = -16cos sin¹⁵+560cos³sin¹³-4368cos⁵sin¹¹+11440cos⁷sin⁹-11440cos⁹sin⁷+4368cos¹¹sin⁵-560cos¹³sin³+16cos¹⁵sin
sin 17x = sin¹⁷-136cos²sin¹⁵+2380cos⁴sin¹³-12376cos⁶sin¹¹+24310cos⁸sin⁹-19448cos¹⁰sin⁷+6188cos¹²sin⁵-680cos¹⁴sin³ + 17cos¹⁶sin
sin 18x = 18cos sin¹⁷-816cos³sin¹⁵+8568cos⁵sin¹³-31824cos⁷sin¹¹+48620cos⁹sin⁹-31824cos¹¹sin⁷+8568cos¹³sin⁵-816cos¹⁵sin³ + 18cos¹⁷sin

Not: Tek başına sin yazanlar sinx tek başına cos yazanlar cosx dir.

cos 1x = cos
cos 2x = -sin²+cos²
cos 3x = -3cos sin²+cos³
cos 4x = sin⁴-6cos²sin²+cos⁴
cos 5x = 5cos sin⁴-10cos³sin²+cos⁵
cos 6x = -sin⁶+15cos²sin⁴-15cos⁴sin²+cos⁶
cos 7x = -7cos sin⁶+35cos³sin⁴-21cos⁵sin²+cos⁷
cos 8x = sin⁸-28cos²sin⁶+70cos⁴sin⁴-28cos⁶sin²+cos⁸
cos 9x = 9cos sin⁸-84cos³sin⁶+126cos⁵sin⁴-36cos⁷sin²+cos⁹
cos 10x = -sin¹⁰+45cos²sin⁸-210cos⁴sin⁶+210cos⁶sin⁴-45cos⁸sin²+cos¹⁰
cos 11x = -11cos sin¹⁰+165cos³sin⁸-462cos⁵sin⁶+330cos⁷sin⁴-55cos⁹sin²+cos¹¹
cos 12x = sin¹²-66cos²sin¹⁰+495cos⁴sin⁸-924cos⁶sin⁶+495cos⁸sin⁴-66cos¹⁰sin²+cos¹²
cos 13x = 13cos sin¹²-286cos³sin¹⁰+1287cos⁵sin⁸-1716cos⁷sin⁶+715cos⁹sin⁴-78cos¹¹sin²+cos¹³
cos 14x = -sin¹⁴+91cos²sin¹²-1001cos⁴sin¹⁰+3003cos⁶sin⁸-3003cos⁸sin⁶+1001cos¹⁰sin⁴-91cos¹²sin²+cos¹⁴
cos 15x = -15cos sin¹⁴+455cos³sin¹²-3003cos⁵sin¹⁰+6435cos⁷sin⁸-5005cos⁹sin⁶+1365cos¹¹sin⁴-105cos¹³sin²+cos¹⁵
cos 16x = sin¹⁶-120cos²sin¹⁴+1820cos⁴sin¹²-8008cos⁶sin¹⁰+12870cos⁸sin⁸-8008cos¹⁰sin⁶+1820cos¹²sin⁴-120cos¹⁴sin²+cos¹⁶
cos 17x = 17cos sin¹⁶-680cos³sin¹⁴+6188cos⁵sin¹²-19448cos⁷sin¹⁰+24310cos⁹sin⁸-12376cos¹¹sin⁶+2380cos¹³sin⁴-136cos¹⁵sin² + cos¹⁷
cos 18x = -sin¹⁸+153cos²sin¹⁶-3060cos⁴sin¹⁴+18564cos⁶sin¹²-43758cos⁸sin¹⁰+43758cos¹⁰sin⁸-18564cos¹²sin⁶+3060cos¹⁴sin⁴ - 153cos¹⁶sin²+cos¹⁸

Not: Tek başına sin yazanlar sinx tek başına cos yazanlar cosx dir.

öğretmenim bu ney, bov. nerden buldunuz bunları. Dağ gibiler. Bu formülleri çıkaranları da ayrıca tebrik etmek lazım.
Şaka bir yana. Kullanışlılığını bilmem ama, yine de güzel paylaşım olmuş, elinize sağlık.

Bende kullanılacağından değilde bu kadar matematiksel emeği görmek insanın hoşuna gidiyor.

Bunun mutlaka pratik bir yolu vardır. iki terimlinin kuvvet açılımları gibi. Katsayılar pascal üçgeninden değil ama onlarında bulunduğu bir formül mutlaka vardır.

Dediğiniz pascal üçgenine benzeyen ama sayıları değişik bir algoritma yapmışlar. Aldığım sayfada vardı. isterseniz linki tekrar bulup göndereyim.

yok kalsın öğretmenim, beni bozar.

T_n(x) Chebyshev polinomuyken
cos(nx)=T_n(cosx)

Chebyshev Polinomu da şu reküransla tanımlanabiliyor.

T₀=1
T₁=x
n>0 için
T_n+1=2x.T_n-T_n-1

yani uygularsak
T₂=2x.T₁-T₀=2x.x-1=2x²-1 (x=cos yazıldığında cos2x in açılımı oluyor)
T₃=2x.T₂-T₁=2x.(2x²-1)-x=4x³-3x (x=cosx yazıldığında cos3x)
... şeklinde sırayla hepsi yazılabilir.



sinüs için de
S₀(x)=0
S₁(x)=x
n>0 için
S_n+1=(2-2x).S_n(x)-S_n-1(x)+2x

şeklinde bir polinom tanımlanabiliyor

gerçi bunların hepsi cosnx=cos((n-1)x+x) yazılıp açılarak yapılabilir ama siz kolay bir yolu vardır diyince bulup yazma ihtiyacı hissettim.

teşekkürler sayın gereksizyorumcu.

Hocam bunlar sorularda işimize yarar mı sizce ?