[pxfurkan]

4²⁴ⁿ⁺⁵+6²⁰ⁿ⁺⁵+22¹⁶ⁿ⁺⁸ işleminin 5 ile bölümünden kalan kaçtır ?

[cehennemlikadam]

1 buldum doğru mu?

[pxfurkan]

cevap doğru ama çözüm lazım

[cehennemlikadam]

Modüler aritmetikten yaptım.

4≡4 (mod 5)
4²≡ 1 (mod 5)

4²⁴ⁿ≡ 1 (mod 5)

4⁵≡ 4 (mod 5)

4²⁴ⁿ⁺⁵=4²⁴ⁿ.4⁵

5 ile bölümünden kalan= 1.4=4....(*)

6≡1(mod 5)

bu durumda 6'nın bütün kuvvetlerini 5'e bölersen 1 kalanını elde edersin. Yani 6²⁰ⁿ⁺⁵'in 5'e bölümünden kalan 1......(**)

22≡ 2(mod 5)
22²≡4(mod 5)
22³≡3(mod 5)
22⁴≡1 (mod 5)

22¹⁶ⁿ⁺⁸= 22¹⁶ⁿ.22⁸

22¹⁶ⁿ ve 22⁸, 22⁴'ün kuvvetleri olduğu için bunların da 5'e bölümünden kalan 1 .......(***)

Soruda üç ifade toplam şeklinde verildiği için bunların her birinin 5 ile bölümünden kalanlarını toplarsak, hepsinin toplamının 5 ile bölümünden kalanı buluruz.

(*)+(**)+(***)= 4+1+1 =6

6 bulduk fakat bu kalan 5'ten büyüktür. Bu yüzden bulduğumuz bu sonucu tekrar 5'e bölmeliyiz. 6'nın 5 ile bölümünden kalan da 1 dir.