türev

1)Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için,
f(x+y)=f(x)+f(y)+x.y ve
=3 ise f'(1)=?


2)Her x,y ∈ R için, f(x+y)-f(x)=y²+3y+2xy olduğuna göre f'(2)=?

3)f(x)=x³−3x+1 fonksiyonu için

değeri nedir?


4)


(1+tan x)^{1/(x²−∏²)} limitini hesaplayınız

1. x=1 y=0 olsun h sıfıra yaklaşırken f(h)/h değeri üçe yaklaştığına göre f(0)=0 olmalıdır. aynı zamanda f'(0)=3 olmalıdır. f(y)= f(x+y)-f(x)-x*y yazıp f fonksiyonunun y bağımsız değişkenine göre türevini alalım. f'(y)=f'(x+y)-x yazabiliriz. burada x=1 y=0 yazarsak, f'(0)=f'(1)-1 olur. 3=f'(1)-1 olduğuna göre, f'(1)=4 bulunur.

2. f'(x+y)-f'(x)= 2y f'(x+y)=2y+3+2x=2y+2x+3 yazabiliriz. f'(x)=2x+3 bulunur. f'(2)=7 bulunur.

3. f'(x)=3x²-3 f'(3)=24 bulunur. L'hospital teoreminden yararlanırsak pay kısmı 3f'(3x)-f'(3) payda kısmı 5 çıkar. x yerine 1 yazılırsa yanıt 14/5 bulunur.

4. y=(1+tan x)^{1/(x²−∏²)} olsun. ln(y)=1/(x²−∏²)*ln(1+tanx)=ln(1+tanx)/(x²−∏²) bulunur. bu eşitlikte L'hospital teoreminden yararlanılarak ln(y)=(1+tan²(x))/(1+tan x)*2x bulunur. x=pi yazılarak lny=1/2pi ve y=e^1/2∏ bulunur.

çok teşekkür ediyorum