faktöriyel

1)
ifadesi bir doğal sayı, x+y nin en büyük doğal sayı değeri? (67)


2)x,y pozitif doğal sayı
98!+99!=200^x.y ise x en çok kaçtır? (12)


3)(43!+27!)-46 sayısının sondan dört basamagının toplamı kaçtır? (27)

C-1
99! içerisindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısına bakarız.

99/3=33
33/3=11
11/3=3
3/3=1
+_____
48 tane 3 çarpanı var. Yani 3^x=3⁴⁸ olabilir. x=48 olabilir.

99/5=19
19/5=3
+______
22 tane 5 çarpanı var. Yani 5^y+3=5²², y+3=22, y=19 olabilir.

48+19=67 bulunur.

Birinci soruda 99! içindeki 3 ve 5 çarpanlarını arayacağız. Bunun en kolay yolu faktöriyeli alınacak sayıyı aranacak çarpana kalansız bölerek sonuçları toplamaktır.
99 // 3 = 33
33 // 3 = 11
11 // 3 = 3
3 // 3 = 1
33+11+3+1=48 tane 3 çarpanı vardır.
99 // 5 = 19
19 // 5 = 3
19 + 3 = 22 y+3=22 ise y = 19 olur.
48+19=67
İkinci soruda 98! parantezine alabiliriz. 98!(1+99) = 200^x+y
98!(100) = (2²+5²)^x+y olur. 2² çarpanları 5² çarpanlarından çok olacağından beş çarpanlarını aramamız yeterli olur. 98!'de 22 tane 5 çarpanı vardır. Biz 5² aradığımız için 22/2 = 11 olur. 100'ün içinde de bir tane 5² çarpanı olduğu için cevap 11+1=12 olur.
Sonuncu soru için 5! ve daha üst faktöriyellerde sayıların sonları 0 ile biter. 43! ve 27! faktöriyel sayılarının son 4'ten fazla basamağı sıfır olacağı için şöyle bir işlem yapabiliriz:
...0000 - 46 = ...9954. Buradan cevap 9+9+5+4 = 27 olarak çıkar.
İyi günler.

3.soruda 43!sonunda 9 0 var. 23! sonunda 4 sıfır var. yani toplarsak sonda 4 sıfır mutlaka olacak. ( kaç sıfır oldgunu sayıyı 5 e bölerek buluyoruz.)
Son 4 basamağı mutlaka sıfırsa ve 46 cıkarıyorsak Sonuc : .....9954 olacak. 9+9+5+4= 27 olur.

C-2

200^x=2^3x.5^2x

98!+99!=100.98!
100.98!=5².2².98!

5².2².98!=2^3x.5^2x.y
98!=2^3x-2.5^2x-2.

98! içindeki 5 ve 2 çarpanlarının sayısını bulalım,

98/2=49
49/2=24
24/2=12
12/2=6
6/2=3
3/2=1
+______
95 tane 2 var.

x tam sayı için,
2^3x-2=2⁹⁴ olabilir.
3x-2=94
x=22 bulunur.


Kaç tane 5 olduğuna bakalım,

98/5=19
19/5=3
+_____
22 tane 5 var.

5^2x-2=5²²
2x-2=22
2x=24
x=12 bulunur.

Küçük olan değer kısıtlayıcı olduğundan, x en fazla 12 olabilir.