Taban aritmetiği

10! sayısı 2 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir




on tabanındaki 7⁷
sayısı 2 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir

2)
7<8
7<2³
7⁷<(2³)⁷
7⁷<2²¹
2²¹, 2 tabanında 22 basamaklı bir sayı olduğu için; 7⁷, 21 basamaklı olması lazım. (Ama logaritma ile yapınca 20 basamaklı çıkıyor.)

1)
10!=2⁸.3⁴.5².7

3⁴=81=2⁶+.....


5²=25=2⁴+....

7=2²+2¹+1

10!=2⁸.(2⁶+....).(2⁴+....).(2²+...)=2²⁰+......

olduğundan 21 basamaklıdır.

teşekkürler, kim çözücek diye bekliyordum bu soruları

bir şey sormak istiyorum

1. soruda neden 21 basamak olmak zorundadır, 20 basamak ,19 basamakta olamazmı çünkü sadece 22 den küçük olduğunu biliyoruz.

Açıkçası bu cevaplar hoşuma gitmedi. Logaritmadan daha net cevaplar çıkıyor. Ama o da uzun oluyor. O yüzden kestirmeden gittim.
Benim göremediğim bu soruların hangi yolla çözülmesi istendiği.
Ayrıca 1. soru için, parantez içinde logaritma ile, 20 basamklı olarak çıktığını belirttim. Benim de göremediğim bu işte. Bu yolla, basamak sayısı hakkında net bir karar verilemiyor, ya da ben göremedim. Başka bir yolla çözebilen varsa, görmek isterim.

Bir de, 2. soruyu logaritma ile çözmedim ama tahminimce bu cevap doğru. Çünkü eşitsizlik değil, eşitlik kullandım.

Şimdi aklıma geldi.
2. soruyu da 1. soru gibi çözmeye çalışırsak,
7=2²+2+1
7⁷=(2²+2+1)⁷
7⁷=2¹⁴+......
hatalı oluyor, çünkü, arka taraftan, dereceyi 14 ün üstüne çıkaracak geliyor.
O yüzden bu çözüm net değil.
Bilemiyorum.
Dediğim gibi, logaritma yolu en sağlamı , ama uzun. Daha kısa yolunu bulabilen varsa eklesin lütfen. Ben bulamadım.

benim de aklıma hocamızın yaptığından farklı bişey gelmiyo. belki incelemeyi keskinleştirebiliriz.
şöyle bişey de yapılabilir ama bence bu da aynı mantık

(8-1)^7 ifadesi açılır
ilk terim 8^7
son 3 terim oldukça küçük onları saymazsak
sonradan gelen terimlerin toplamı da -8^3.35.71 oluyor
35>2^5 ve 71>2^6 olduğundan
bu ifadede 2^21 sayısından 2^20 den daha büyük bi sayıyı çıkarmış oluruz sonuçta da 2^20 den küçük bir sayı kalır
sayı 20 basmaklıdır deriz (2^19 dan büyük olduğu da bi iki cümleyle anlatılmalı ama o kısmı geçiyorum )

Benim tahminimce, bu soruyu , logaritma uygulaması olarak vermişler. Sayı uygulaması olarak, işin içinden çıkmak çok zor.

7 yerine 8-1 yazıp binom açılımı uygularsak, sonra da önümüze gelen sayıları, örneğin 15'i 2^4-1 şeklinde yazarak gidersek basamak sayısını da tahmin edebiliyoruz. Mesela ilk basamağı 1 sonraki 10 basamağı da 0 olan bir sayıdan 1'i bile çıkarırsak basamak sayısı 10'a düşer. Ancak aynı sayıdan ilk basamağı 5 sonraki 6 basamağı da 0 olan bir sayıyı bile çıkarsak basamak sayısı yüne bir azalır. Gibi bir mantık yürütebiliriz.

Binomvarî açması ve çarpması logaritmadan daha kolay bence.

1. soru:
2⁸.(2⁶+2⁴+1).(2⁴+2³+1).(2²+2+1)
2⁸.(2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+2³+1).(2²+2+1)
2⁸.(2¹²+2¹¹+...) ifadesinde 2⁶'dan itibaren yukarı üslere çıkla çıkıla en büyük terim 2²¹ elde edilir, bu da 22 basamaklı olduğunu söyler.

2. soru:
7²=(2⁵+2⁴+1)
7²=(2⁵+2⁴+1)
7²=(2⁵+2⁴+1)
7=2²+2+1 şeklinde parçalayarak,

7⁴=2¹¹+2⁸+2⁶+2⁵+1
7³=2⁸+2⁶+2⁴+2²+2+1 'ler çarpılarak,

7⁷=2¹⁹+2¹⁷+2¹⁵+......+2⁶+2⁴+2²+2+1

Burada da 2⁶'dan itibaren çıkla çıkıla 2¹⁹'a el'de gelmez ve aynen kalır; bu da 20 basamaklı.

1. soruda, arkadan gelen kuvvet artıran terimi görememişim. 21 değil, 22 basamaklı olacakmış.
Yine söylüyorum. Bence binom yöntemi kolay bir yöntem değil, kuvvet artıran terimleri görmek hiç de kolay değil, tek tek açmak gerekiyor.
Ben bir de logaritma çözümünü yazayım en iyisi.
Not: Bir sayının , herhangi bir tabandaki logaritmasının tam kısmının bir fazlası, o sayının o tabandaki yazılışındaki basamak sayısını verir.

2)

log₂7⁷=7.(log7/log2)≈7.(0,84/0,3)≈7.2,8≈19,6
20 basamaklı

1)

log₂10!=log₂(2⁸.3⁴.5².7)=log₂2⁸+log₂3⁴+log₂5²+og₂7
=8+4.(log3/log2)+2.(log5/log2)+(log7/log2)
≈8+4.(0,47/0,3)+2.(0,7/0,3)+(0,84/0,3)
≈8+4.1,56+2.2,33+2,8
≈8+6,24+4,66+2,8
≈21,7

22 basamaklı