Modüler aritmetik sorusu

gyarat 21:46 30 Nis 2011 #1

Herkese selam.Soruyu 9.sınıfta okuyan kardeşim sordu.İlk kez gördüğüm bir soru tipi olduğu için bir çözüm yolu bulamadım.Siz üstadlara havale ediyorum.Şimdiden teşekkürler.

Soru:

2²⁰⁰⁷+4²⁰⁰⁷+6²⁰⁰⁷+...+2006²⁰⁰⁷

Sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

gereksizyorumcu 22:02 30 Nis 2011 #2

1.yol
herbiri 5 ardışık terimden oluşan sayı grubu oluşturduğumuzda
(2²⁰⁰⁷+4²⁰⁰⁷+6²⁰⁰⁷+8²⁰⁰⁷+0²⁰⁰⁷)+(...)+(...) (200 tane parantez) + (2²⁰⁰⁷+4²⁰⁰⁷+6²⁰⁰⁷)

ilk 200 tane parantezin içinde aynı sayılar olduğundan sonuç ne olursa olsun 200 katının sonu 0 olacaktır. kalan 3 terimin son basamağınıbulsak yeter
2¹≡2 , 2²≡4 , 2³≡8 , 2⁴≡6 , 2⁵≡2
4¹≡4 , 4²≡6 , 4³≡4
6¹≡6 , 6²≡6
yani 2 liden son rakam 8 , 4 lüden son rakam 4 ve 6lı dan sonrakam 6 gelir sonucun son rakamı da 8+4+6≡8 olur

2.yol
2008²⁰⁰⁷ ekler çıkartırız
2008²⁰⁰⁷ ile 2²⁰⁰⁷ , 2006²⁰⁰⁷ ile 4²⁰⁰⁷ eşleştiilirse kuvvet tek sayı olduğundan 10 modundaki değerleri birbirinin negatifi olacaktır ve toplamları sıfır olacaktır.

demek ki bu ifadenin son rakamı -2008²⁰⁰⁷ nin 10 modundaki değerine denk
8¹≡8 , 8²≡4 , 8³≡2 , 8⁴≡6 , 8⁵≡8
2008²⁰⁰⁷ ni son rakmı 8³≡2 olduğundan negatifinin son rakamı da 8 olur