sentetikgeo 15:36 18 Haz 2013 #1 1)996.1006 çarpımının tam kare olması için eklenmesi gereken en küçük doğal sayı nedir?
Çözüm:
996.1006=(1001-5)(1001+5)=1001²-5²
Tam kare yapmak için en az 5²=25 eklemeliyiz.
2)
27=9.3
207=9.23
2007=9.223
20007=9.2223
Yukarıdaki örüntüye göre aşağıdakilerden hangisi 81'e bölünür?
A)200007
B)20000007
C)2000000007
D)200000000007
E)20000000000007
Çözüm:
20...07=9x2...23 şeklindedir. 0'ların sayısı 2'lerin sayısına eşittir.
9x2...23 sayısının 81'e bölünmesi için 2...23 sayısı 9'a bölünmelidir.
0'ların ve 2'lerin sayısı n olsa 2...23 sayısının rakamları toplamı 2n+3 9'a bölünmelidir.
A)n=4 olduğu için 2n+3=11 9'a bölünmez.
B)n=6 olduğu için 2n+3=15 9'a bölünmez.
C)n=8 olduğu için 2n+3=19 9'a bölünmez.
D)n=10 olduğu için 2n+3=23 9'a bölünmez.
E)n=12 olduğu için 2n+13=27 9'a bölünür.
3)x ve y tam sayılar olmak üzere 1'den 2011'e kadar sayılardan kaçı (x-y)(x+y) şeklinde yazılamaz ?
Çözüm:
(x-y)(x+y)=x²-y² olduğunu biliyoruz.
Bir tam sayının karesinin 4'e bölümünden kalanın 0 ya da 1 olduğunu biliyoruz.
(Önce sayı tek olsun sonra da çift olsun diyerek ispatlayabilirsiniz.)
Bu durumda x²-y²'nin 4'e bölümünden kalanlar
0-0=0
1-0=1
0-1=-1 (Yani 3)
1-1=0
olabilir. 4'e bölününce 2 kalanını veren sayıların olmadığını görüyoruz.
2,6,...,2010 yani 503 adet sayı.
4)n tane ardışık tam sayının toplamı 525 ise n 3,4,5,6,7 değerlerinden hangisini alamaz?
Çözüm:
Ardışık üç tam sayının toplamı: x+(x+1)+(x+2)=3x+3=525 ,x=174 bulunur.
Ardışık dört tam sayının toplamı: x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6=525 fakat x tam sayı olmaz.
5,6,7 olabildiği basitçe gösterilebilir.
NOT:Ardışık n tam sayının toplamı x ise 2x n'e bölünmelidir.
5)100'den küçük doğal sayıların kaç tanesinin karesinin onlar basamağı tektir ?
Çözüm:
Güzel bir soru
Bir doğal sayının birler basamağı b ise 10a+b şeklinde yazılabilir.
(10a+b)²=100a²+20ab+b²
100a² sayısı onlar basamağını etkilemez.
20ab sayısı 20'ye bölündüğünden onlar basamağı çifttir.
b²'nin onlar basamağı tek olmalıdır. Karesinin birler basamağı tek olan rakamlar 4 ve 6'dır.
Yani sayının birler basamağı 4 ya da 6 olmalıdır. 14,16,24,26,....94,96 yani 20 adettir.
6)3n-10 ve 5n-13 tamsayılarının ikisini de asal yapan kaç n tamsayısı vardır?
Çözüm:
(3n-10)+(5n-13)=8n-23(tek sayı)
Toplamı tek sayı olan sayılardan biri çift diğeri tektir.
Çift asal sayı olarak bir tek 2 vardır.
3n-10=2 , n=4 , 5n-13=7(asal)
5n-13=2 , n=3 , 3n-10=-1(asal değil)
Sadece 4 istenen şartı sağlar.
3 tane sayının asal olması istenseydi yine bu sayıları toplayacaktık.
Sonuç çift sayı ise üçü birden tek sayı olamaz diyip biri 2 olmalı diyecektik.
7)abc,ab,a onluk tabanda sayılardır.
abc.ab.a=2002 ise a+b+c'nin değeri nedir?
Çözüm:
2002=2.7.11.13 olduğundan a sayısı 1,2 ya da 7 olabilir.
a=2 durumunda 2bc.2b=1001 sağlanmayacağı açıktır.
a=7 durumunda 7bc.7b=286 sağlanmayacağı açıktır.
a=1 olmalıdır. abc.ab=2.11.13.7 olur.
ab iki basamaklı sayısı 11,13 veya 14 olabilir.
ab=11 ve ab=13 durumu denenirse sağlanmaycağı gözükür. ab=14 durumu sağlar.
ab+c=1+4+3=8 olmalıdır.
8)13!+1<p<13!+14 şartını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?
Çözüm:
13! 2'ye bölündüğünden 13!+2 2'ye
13! 3'e bölündüğünden 13!+3 3'e
.
.
13! 13'e bölündüğünden 13!+13 13'e
bölünür. Yani bu aralıkta hiç asal yoktur.
Genellersek (n!+1,n!+n] aralığında hiç asal yoktur.
9)n,m tam sayıları 720n=m³ şartını sağlıyorsa n en az kaçtır?
Çözüm:
720=2⁴.3².5¹ 'dir.
m'in çarpanlara ayrılışında tüm kuvvetler 3'ün katı olmalı.
2⁴.3².5¹ sayısında 4,2 ve 1 kuvvetlerini 3'ün katına tamamlamak için en az 2².3.5²=300 ile çarpmalıyız.
Yani n en az 300'dür.
10)a asal sayı olmak üzere 2⁴.3⁵.a² sayısının asal olmayan tam bölenleri toplamı -12 ise a kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının tam bölenleri toplamı 0'dır.
0'dan asal bölenler toplamını çıkardığımızda -12 kalıyorsa asal bölenler toplamı 12'dir.
2+3+a=12, a=7
11)obeb(a,b)=6 ve a+b=30 ise a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
a=6x ve b=6y olmalı (x,y aralarında asal)
6x+6y=30
x+y=5 bulunur.
x=1,2,3,4 olabilir.
a'nın alabileceği değerler toplamı 6.1+6.2+6.3+6.4=60 bulunur.
12)4 ve 5 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren ve 7 ile bölünebilen en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
ekok(4,5)=20 olduğundan 4 ve 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar
3,23,43,63,...
Şeklinde gider ve bu sayılardan 7 ile bölünebilen en küçük sayı 63'dür.
13)5⁴-1 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
Çözüm:
5⁴-1=25²-1=24.26=2³.3.2.13=2⁴.13¹.3¹
(4+1)(1+1)(1+1)=20 bulunur.
Çözüm:
996.1006=(1001-5)(1001+5)=1001²-5²
Tam kare yapmak için en az 5²=25 eklemeliyiz.
2)
27=9.3
207=9.23
2007=9.223
20007=9.2223
Yukarıdaki örüntüye göre aşağıdakilerden hangisi 81'e bölünür?
A)200007
B)20000007
C)2000000007
D)200000000007
E)20000000000007
Çözüm:
20...07=9x2...23 şeklindedir. 0'ların sayısı 2'lerin sayısına eşittir.
9x2...23 sayısının 81'e bölünmesi için 2...23 sayısı 9'a bölünmelidir.
0'ların ve 2'lerin sayısı n olsa 2...23 sayısının rakamları toplamı 2n+3 9'a bölünmelidir.
A)n=4 olduğu için 2n+3=11 9'a bölünmez.
B)n=6 olduğu için 2n+3=15 9'a bölünmez.
C)n=8 olduğu için 2n+3=19 9'a bölünmez.
D)n=10 olduğu için 2n+3=23 9'a bölünmez.
E)n=12 olduğu için 2n+13=27 9'a bölünür.
3)x ve y tam sayılar olmak üzere 1'den 2011'e kadar sayılardan kaçı (x-y)(x+y) şeklinde yazılamaz ?
Çözüm:
(x-y)(x+y)=x²-y² olduğunu biliyoruz.
Bir tam sayının karesinin 4'e bölümünden kalanın 0 ya da 1 olduğunu biliyoruz.
(Önce sayı tek olsun sonra da çift olsun diyerek ispatlayabilirsiniz.)
Bu durumda x²-y²'nin 4'e bölümünden kalanlar
0-0=0
1-0=1
0-1=-1 (Yani 3)
1-1=0
olabilir. 4'e bölününce 2 kalanını veren sayıların olmadığını görüyoruz.
2,6,...,2010 yani 503 adet sayı.
4)n tane ardışık tam sayının toplamı 525 ise n 3,4,5,6,7 değerlerinden hangisini alamaz?
Çözüm:
Ardışık üç tam sayının toplamı: x+(x+1)+(x+2)=3x+3=525 ,x=174 bulunur.
Ardışık dört tam sayının toplamı: x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6=525 fakat x tam sayı olmaz.
5,6,7 olabildiği basitçe gösterilebilir.
NOT:Ardışık n tam sayının toplamı x ise 2x n'e bölünmelidir.
5)100'den küçük doğal sayıların kaç tanesinin karesinin onlar basamağı tektir ?
Çözüm:
Güzel bir soru
Bir doğal sayının birler basamağı b ise 10a+b şeklinde yazılabilir.
(10a+b)²=100a²+20ab+b²
100a² sayısı onlar basamağını etkilemez.
20ab sayısı 20'ye bölündüğünden onlar basamağı çifttir.
b²'nin onlar basamağı tek olmalıdır. Karesinin birler basamağı tek olan rakamlar 4 ve 6'dır.
Yani sayının birler basamağı 4 ya da 6 olmalıdır. 14,16,24,26,....94,96 yani 20 adettir.
6)3n-10 ve 5n-13 tamsayılarının ikisini de asal yapan kaç n tamsayısı vardır?
Çözüm:
(3n-10)+(5n-13)=8n-23(tek sayı)
Toplamı tek sayı olan sayılardan biri çift diğeri tektir.
Çift asal sayı olarak bir tek 2 vardır.
3n-10=2 , n=4 , 5n-13=7(asal)
5n-13=2 , n=3 , 3n-10=-1(asal değil)
Sadece 4 istenen şartı sağlar.
3 tane sayının asal olması istenseydi yine bu sayıları toplayacaktık.
Sonuç çift sayı ise üçü birden tek sayı olamaz diyip biri 2 olmalı diyecektik.
7)abc,ab,a onluk tabanda sayılardır.
abc.ab.a=2002 ise a+b+c'nin değeri nedir?
Çözüm:
2002=2.7.11.13 olduğundan a sayısı 1,2 ya da 7 olabilir.
a=2 durumunda 2bc.2b=1001 sağlanmayacağı açıktır.
a=7 durumunda 7bc.7b=286 sağlanmayacağı açıktır.
a=1 olmalıdır. abc.ab=2.11.13.7 olur.
ab iki basamaklı sayısı 11,13 veya 14 olabilir.
ab=11 ve ab=13 durumu denenirse sağlanmaycağı gözükür. ab=14 durumu sağlar.
ab+c=1+4+3=8 olmalıdır.
8)13!+1<p<13!+14 şartını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?
Çözüm:
13! 2'ye bölündüğünden 13!+2 2'ye
13! 3'e bölündüğünden 13!+3 3'e
.
.
13! 13'e bölündüğünden 13!+13 13'e
bölünür. Yani bu aralıkta hiç asal yoktur.
Genellersek (n!+1,n!+n] aralığında hiç asal yoktur.
9)n,m tam sayıları 720n=m³ şartını sağlıyorsa n en az kaçtır?
Çözüm:
720=2⁴.3².5¹ 'dir.
m'in çarpanlara ayrılışında tüm kuvvetler 3'ün katı olmalı.
2⁴.3².5¹ sayısında 4,2 ve 1 kuvvetlerini 3'ün katına tamamlamak için en az 2².3.5²=300 ile çarpmalıyız.
Yani n en az 300'dür.
10)a asal sayı olmak üzere 2⁴.3⁵.a² sayısının asal olmayan tam bölenleri toplamı -12 ise a kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının tam bölenleri toplamı 0'dır.
0'dan asal bölenler toplamını çıkardığımızda -12 kalıyorsa asal bölenler toplamı 12'dir.
2+3+a=12, a=7
11)obeb(a,b)=6 ve a+b=30 ise a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
a=6x ve b=6y olmalı (x,y aralarında asal)
6x+6y=30
x+y=5 bulunur.
x=1,2,3,4 olabilir.
a'nın alabileceği değerler toplamı 6.1+6.2+6.3+6.4=60 bulunur.
12)4 ve 5 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren ve 7 ile bölünebilen en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
ekok(4,5)=20 olduğundan 4 ve 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar
3,23,43,63,...
Şeklinde gider ve bu sayılardan 7 ile bölünebilen en küçük sayı 63'dür.
13)5⁴-1 sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
Çözüm:
5⁴-1=25²-1=24.26=2³.3.2.13=2⁴.13¹.3¹
(4+1)(1+1)(1+1)=20 bulunur.
korkmazserkan 11:35 03 Tem 2013 #2
eline sağlık güzel anlatmışsın
Çok güzel olmuş, eline sağlık.
5.soruda 4 ve 6 nın kendileri neden alınmadı acaba? sonuçta 4ün karesi 16 ve 6nın karesi 36dan yine onlar basamağı tek sayı gelmiyor mu?
Diğer çözümlü sorular alttadır.
Doğal Sayılar Çözümlü Sorular Doğal Sayılarla İlgili Sorular Tam Sayı Soruları Tam Sayılarla İlgili Sorular Temel Kavramlar Soruları
Tüm Etiketler
Tüm Etiketler