İçerme-Dışarma

s(A) A kümesinin eleman sayısını gösterir.
s(A₁∪A₂)=s(A₁)+s(A₂)-s(A₁∩A₂)
s(A₁∪A₂∪A₃)=s(A₁)+s(A₂)+s(A₃)-(s(A₁∩A₂)+s(A₁∩A₃)+s(A₂∩A₃))+s(A₁∩A₂∩A₃)

Soru1

1 den 700'e kadar olan sayılardan kaç tanesi 3,5,7 sayılarından hiçbirine bölünmez?

1'den 700'e kadar:
3'e bölünen sayılar:[[700/3]]=233
7'ye bölünen sayılar:[[700/7]]=100
5'e bölünen sayılar:[[700/5]]=140
Toplarsak 473 tane. 700'den 473 çıkaralım 227.
Fakat 15'e 21'e ve 35'e bölünen sayıları iki defa çıkarmış olduk bu yüzden toplamamız lazım
15'e bölünen sayılar:[[700/15]]=46
21'e bölünen sayılar:[[700/21]]=33
35'e bölünen sayılar:[[700/35]]=20
Toplarsak 99. 227+99=326. Fakat 105'e bölünen sayıları fazladan toplamış olduk. Yani 105'e bölünen sayıları çıkartmamamız lazım
[[700/105]]=6
326'dan 6 çıkaralım 320. Yani 1'den 700'e kadar olan sayılardan 320 tanesi 3,5,7 sayılarından hiçbirine bölünmez.

Soru2

x,y,z 8'den küçük 1'den büyük eşit sayılardır. x+y+z=18 eşitliğinin kaç çözümü vardır?

Hiç koşulsuz x+y+z=18 eşitliğinin kaç çözümü olduğunu bulalım. x,y,z sayma sayısı olduğu için hepsine 1 verelim 15 kalır. 15 bilyeyi üç kutuya dağıttığımızı düşünelim
C(15+3-1,3-1)=C(17,2)=136 (tüm durumlar)
x'in 8'den büyük olduğu durumu düşünelim.
x+y+z=18 x'e 8 verelim y ve z ye 1 verelim(sayma sayısı) 8 kalır. 8 bilyeyi üç kutuya dağıttımızı düşünelim C(8+3-1,3-1)=C(10,2)=45. y ve z içinde aynı durum olacak 3.45=135. 136 dan 135 çıkarısak 1 kalır.
x ve y nin 8 den büyük olduğunu düşünelim x+y+z=18 x ve y ye 8 z ye 1 verelim 1 kalır 1 bilyeyi 3 kutuya 3 farklı şekilde dağıtırız. (x,z) (y,z) ikilileri için de aynı durum olur 3.3=9 1e 9 ekleyelim 10. x,y,z üçü birden 8 den büyük olamaz eğer olsaydı o durumları çıkaracaktık .

Soru3

5 kişi bir davette ayakkabılığa ayakkabılarını bırakıyor. Çıkışta herkes rastgele bir ayakkabı alıyor. Herkesin yanlış ayakkayı alması kaç durumla gerçekleşir?

Tüm durumlar 5!=120
1 kişinin doğru aykkabı alması:C(5,1).4!=120
2 kişinin doğru aykkabı alması:C(5,2).3!=60
3 kişinin doğru aykkabı alması:C(5,3).2!=20
4 kişinin doğru aykkabı alması:C(5,4).1!=5
5 kişinin doğru aykkabı alması:1 çünkü herkesin ayakkabısı bellidir
120-120+60-20+5-1=44

Eline sağlık.Ben de bunlar üzerine çalışıyorum şu sıralar.Bi alıştırma sorusu sorayım belki uğraşan arkadaşlar olur :
Her birinden 20şer tane lan 1 kuruş , 5 kuruş , 10 kuruş ve 25 kuruş ve 50 kuruştan oluşan 100 tane madeni para 5 tane kutuya kutualr boş olmamak şartıyla kaç farklı biçimde atılabilir?

Çözen arkadaşlar yorumlarını aşağı atabilirler.

Emin değilim ama aklıma böyle birşey geldi
20 özdeş 1 kuruş 5 farklı kutuya C(20+5-1,5-1)=c(24,4) şekilde dağıtılır
5 kuruş 10 kuruş 25 kuruş ve 50 kuruş içinde aynı durum geçerli
(C(24,4))⁵

Ama hiç bi kutu boş olmiyacak diyor.Dikkat ettin mi? Misal C(24,4) durumu içerisinde 000020 durumları da geçerli.

O zaman 20 özdeş 1 kuruşdan 5 tanesini kutulara koyarız geriye 15 kalır C(15+5-1,5-1)=C(19,4) artık kutular dolmuş oldu 5,10,25,50 kuruşlar için C(24,4) durum vardır
C(19,4).(C(24,4))⁴

Konu içerme dışarma , o yüzden buna uygun bi çözüm düşün bakalım.Cevap içinse (kopya olmasın gibilerinden) cevabı vermeyelim.
misal tüm durumlardan - 1 kutunun boş oldu. durumlar vs...

bu çözüm 1,2,3 ve 4. kutuda tek bi tane 5 kuruş , 5. kutuda ise kalan tüm paralar olan geçerli bir durumu saymaz.

Tüm durumlar: C(24,4)⁵
1 Kutunun boş olması : C(23,3)⁵.5
2 Kutunun boş olması: C(22,2)⁵.10
3 Kutunun boş olması: 10.21⁵
4 Kutunun boş olması: 1
C(24,4)⁵- C(23,3)⁵.5+C(22,2)⁵.10-10.21⁵+1

Çok ufak bi hata olmuş +1 değil 5.C(20,0) olmalıdır.