Bu bölümde fonksiyonun en geniş tanım aralığı ve tek-çift fonksiyon konuları yer almaktadır.
En Geniş Tanım Aralığı
f:A→B olmak üzere,
1)Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
2) Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.
3) 2n√f(x) fonksiyonu f(x)≥0 için tanımlıdır.
4) 2n+1√f(x) fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır.
5) logab fonksiyonu a>0 ve b>0 a≠1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde tanımlıdır.
6) arcsinf(x) ve arccos(f(x) fonksiyonları -1≤f(x)≤1 için tanımlıdır.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
SORU 1:
ÇÖZÜM 1:
Paydayı sıfır yapan değerleri bulup tüm reel sayılardan çıkarmalıyız.
x²-x-20=(x-5).(x+4)=0 ise x=5 ve x=-4 için tanımsızdır.
O halde tanım aralığı : R-{-4,5} bulunur.
--------------------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
f:R-{a}→R-{b}
ise a+b=?
ÇÖZÜM 2:
Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmıştır.
a ifadesi f(x) fonksiyonunu tanımsız yaparken, b ifadesi f⁻¹ fonksiyonunu tanımsız yapmaktadır.
f ifadesinin tanımsız olması için x=7 olmalı dolayısı ile a=7 olur.
f⁻¹ ifadesini tanımsız yapan değerler için fonksiyonun tersini almamıza gerek yok (uzatmayalım) x'li ifadelerin oranı b'yi verecektir bize.
a+b=7+2=9 bulunur.
-----------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
f(x)=√x²+3x+4a+1 fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlı ise a nedir ?
ÇÖZÜM 3:
x²+3x+4a+1≥0 olmalı burada ifadenin tüm reel sayılar için tanımlı olması için,
D≤0 olmalıdır. Çünkü D<0 ve eşitlik durumunda tabloda işaret değişmez. Tüm reel sayılarda tanımlı olur.
9-4.(4a+1)≤0 ise
a≥5/16 ise a nın değer aralığı [5/16,&) bulunur.
----------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
f(x)=√log₂(x-4)-5
fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 4:
log₂(x-4)-5≥0 aynı zamanda x-4>0 , x>4 olmalı.
(x-4)≥32
x≥36 olur o halde tanım aralığı [36,&) olur.
--------------------------------------------------------------------------------
SORU 5:
f(x)=2arcsin((3x-1)/5)+3
fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 5:
-5≤3x-1≤5
-4≤3x≤6
-4/3≤x≤2 olur.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Tek ve Çift Fonksiyon Soruları ve Çözümleri
f(-x)=f(x) oluyorsa f(x) çift fonksiyondur.
f(-x)=-f(x) oluyorsa f(x) tek fonksiyondur.
*f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur.
*f(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
Örnekler:
Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarını inceleyelim.
f(x)=x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.
f(x)=x⁵+x³ fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluştuğu için tek fonksiyondur
f(x)=x²-x fonksiyon ne tektir ne de çifttir.
f(x)=x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f(-x) durumunu inceleyelim. f(-x)=-x.|-x|=-f(x) olduğundan tek fonksiyondur.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SORU 1:
f(x) fonksiyonun grafiği orjine göre simetriktir.
f(x)+3f(-x)=x³+x
ise f(2)=?
ÇÖZÜM 1:
Grafiğin orjine göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlarız.
f(-x)=-f(x) yazabliriz.
f(x)-3f(x)=x³+x
-2f(x)=x³+x
x=2 için f(2) fonksiyonunu bulalım.
-2f(2)=10 ise f(2)=-5 bulunur.
-----------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
f(x) fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x)-x².f(-x)=5x
ise f(4)=?
ÇÖZÜM 2:
Fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise fonksiyon çift fonksiyondur.
f(-x)=f(x) yazalım.
f(x)-x².f(x)=5x ise f(x)[1-x²]=5x olduğuna göre x=4 yazarsak,
f(4)=20/-15=-4/3 bulunur.
-------------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
f(x)=(a-2)x³+x²+(4-b)x+3 fonksiyonu çift fonksiyon ise a.b=?
ÇÖZÜM 3:
Fonksiyon çift fonksiyon olduğuna göre, derecesi tek olan ifadelerin katsayılarını 0 yapmalıyız.
O halde a=2 ve b=4 olur. a.b=8 bulunur.
--------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
f(x) tek fonksiyon g(x) çift fonksiyon olmak üzere,
f(-5)=3, g(3)=7 ise g(f(5))+g(-3) ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 4:
f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x) şeklindedir.
f(-5)=-f(5) =>f(5)=-3 olur.
g(-3)+g(-3)=2g(-3)=2.7=14 bulunur.
En Geniş Tanım Aralığı
f:A→B olmak üzere,
1)Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
2) Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.
3) 2n√f(x) fonksiyonu f(x)≥0 için tanımlıdır.
4) 2n+1√f(x) fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır.
5) logab fonksiyonu a>0 ve b>0 a≠1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde tanımlıdır.
6) arcsinf(x) ve arccos(f(x) fonksiyonları -1≤f(x)≤1 için tanımlıdır.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
SORU 1:
f(x)=
5x²+11x-7
x²-x-20
en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 1:
Paydayı sıfır yapan değerleri bulup tüm reel sayılardan çıkarmalıyız.
x²-x-20=(x-5).(x+4)=0 ise x=5 ve x=-4 için tanımsızdır.
O halde tanım aralığı : R-{-4,5} bulunur.
--------------------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
f:R-{a}→R-{b}
f(x)=
2x+7
x-7
ise a+b=?
ÇÖZÜM 2:
Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmıştır.
a ifadesi f(x) fonksiyonunu tanımsız yaparken, b ifadesi f⁻¹ fonksiyonunu tanımsız yapmaktadır.
f ifadesinin tanımsız olması için x=7 olmalı dolayısı ile a=7 olur.
f⁻¹ ifadesini tanımsız yapan değerler için fonksiyonun tersini almamıza gerek yok (uzatmayalım) x'li ifadelerin oranı b'yi verecektir bize.
a+b=7+2=9 bulunur.
-----------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
f(x)=√x²+3x+4a+1 fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlı ise a nedir ?
ÇÖZÜM 3:
x²+3x+4a+1≥0 olmalı burada ifadenin tüm reel sayılar için tanımlı olması için,
D≤0 olmalıdır. Çünkü D<0 ve eşitlik durumunda tabloda işaret değişmez. Tüm reel sayılarda tanımlı olur.
9-4.(4a+1)≤0 ise
a≥5/16 ise a nın değer aralığı [5/16,&) bulunur.
----------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
f(x)=√log₂(x-4)-5
fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 4:
log₂(x-4)-5≥0 aynı zamanda x-4>0 , x>4 olmalı.
(x-4)≥32
x≥36 olur o halde tanım aralığı [36,&) olur.
--------------------------------------------------------------------------------
SORU 5:
f(x)=2arcsin((3x-1)/5)+3
fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 5:
-1≤
3x-1
5
≤1 olur.
-5≤3x-1≤5
-4≤3x≤6
-4/3≤x≤2 olur.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Tek ve Çift Fonksiyon Soruları ve Çözümleri
f(-x)=f(x) oluyorsa f(x) çift fonksiyondur.
f(-x)=-f(x) oluyorsa f(x) tek fonksiyondur.
*f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur.
*f(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
Örnekler:
Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarını inceleyelim.
f(x)=x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.
f(x)=x⁵+x³ fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluştuğu için tek fonksiyondur
f(x)=x²-x fonksiyon ne tektir ne de çifttir.
f(x)=x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f(-x) durumunu inceleyelim. f(-x)=-x.|-x|=-f(x) olduğundan tek fonksiyondur.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SORU 1:
f(x) fonksiyonun grafiği orjine göre simetriktir.
f(x)+3f(-x)=x³+x
ise f(2)=?
ÇÖZÜM 1:
Grafiğin orjine göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlarız.
f(-x)=-f(x) yazabliriz.
f(x)-3f(x)=x³+x
-2f(x)=x³+x
x=2 için f(2) fonksiyonunu bulalım.
-2f(2)=10 ise f(2)=-5 bulunur.
-----------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
f(x) fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x)-x².f(-x)=5x
ise f(4)=?
ÇÖZÜM 2:
Fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise fonksiyon çift fonksiyondur.
f(-x)=f(x) yazalım.
f(x)-x².f(x)=5x ise f(x)[1-x²]=5x olduğuna göre x=4 yazarsak,
f(4)=20/-15=-4/3 bulunur.
-------------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
f(x)=(a-2)x³+x²+(4-b)x+3 fonksiyonu çift fonksiyon ise a.b=?
ÇÖZÜM 3:
Fonksiyon çift fonksiyon olduğuna göre, derecesi tek olan ifadelerin katsayılarını 0 yapmalıyız.
O halde a=2 ve b=4 olur. a.b=8 bulunur.
--------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
f(x) tek fonksiyon g(x) çift fonksiyon olmak üzere,
f(-5)=3, g(3)=7 ise g(f(5))+g(-3) ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 4:
f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x) şeklindedir.
f(-5)=-f(5) =>f(5)=-3 olur.
g(-3)+g(-3)=2g(-3)=2.7=14 bulunur.
svsmumcu26 14:54 24 Eki 2012 #2
eline sağlık duygu 
Vaktinden ödün vermekten çekinmeyip emektar olan arkadaşlar matematiğe ve öğretmeye gerçekten âşıklar, diye düşünüyorum...
İyi düşünceleriniz için teşekkürler arkadaşlar. Öğrenmek isteyenlere faydalı olabilmek dileğimiz..
Eline emeğine sağlık Duygu
Eline sağlık Duygu çok ayrıntılı olmuş.
Teşekkürler hocam.
Diğer çözümlü sorular alttadır.