korkmazserkan 00:25 08 Oca 2012 #1
1){-16,-15,-14....149,150} kümesinde 5 ve 6 veya 7 ve 8 le bölünüp 4 veya 9 ile bölünmeyen kaç sayı vardır?
2)(6+√35)1980 sayısının virgülden sonraki kaç basamağı 9 dur?
3)1 den 100 e kadar (100 dahil) sayılardan kac tanesi, iki veya daha fazla
ardısık pozitif tamsayının toplamı olarak yazılabilir?
4)kenar uzunlukları 30 ve 72 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin içine ve etrafına köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla gül fidesi dikilecektir.Bahçenin tam ortasında 7m yarıçaplı dairesel bir havuz bulunduğuna göre bu iş için en az kaç gül fidesi gerekir?
5)x, abcde şekilnde ondalıklı sayı ile x+1 fghik şeklinde ondalıklı iki tam sayının toplamı 2x+2 tam sayısıdır.bu iki tam sayının ondaklıklı basamaklarının toplamı ne olur?
6)Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden,
yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle
ekranın aynı köşesinden
yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için,
ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?
2)(6+√35)1980 sayısının virgülden sonraki kaç basamağı 9 dur?
3)1 den 100 e kadar (100 dahil) sayılardan kac tanesi, iki veya daha fazla
ardısık pozitif tamsayının toplamı olarak yazılabilir?
4)kenar uzunlukları 30 ve 72 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin içine ve etrafına köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit aralıklarla gül fidesi dikilecektir.Bahçenin tam ortasında 7m yarıçaplı dairesel bir havuz bulunduğuna göre bu iş için en az kaç gül fidesi gerekir?
5)x, abcde şekilnde ondalıklı sayı ile x+1 fghik şeklinde ondalıklı iki tam sayının toplamı 2x+2 tam sayısıdır.bu iki tam sayının ondaklıklı basamaklarının toplamı ne olur?
6)Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden,
yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle
ekranın aynı köşesinden
yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için,
ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?
paradoks12 21:07 08 Oca 2012 #2
1)ekok(5,6)=30 ve ekok(7,8)=56 olduğundan aslında 30 veya 56 yı bölünüp 4 veya 9a bölünmeyen sayıları aramamız gerekir. ama 7 ve 8 e bölünen hr sayı zaten 4 e bölüneceğinden bu grupla hiç ilgilenmeyeceğiz.
aslında aramamz gereken sayılar; 30 a bölünüp 4 veya 9 a bölünmeyen sayılardır.
150:30=5 olduğundan verilen aralıkta sadece 5 sayı 30a tam bölünür. (negatifler zaten bu şartı sağlmıyor.)
bu sayılar: 30,60,90,120 ve 150 dir.
ekok(4,30)=60
ekok(9,30)=90 olduğundan;
60,90 ve 120 yi eleriz çünkü bunlar 4 veya 9a tam bölünür. geriye sadece iki sayı kalır (30 ve 150)
aslında aramamz gereken sayılar; 30 a bölünüp 4 veya 9 a bölünmeyen sayılardır.
150:30=5 olduğundan verilen aralıkta sadece 5 sayı 30a tam bölünür. (negatifler zaten bu şartı sağlmıyor.)
bu sayılar: 30,60,90,120 ve 150 dir.
ekok(4,30)=60
ekok(9,30)=90 olduğundan;
60,90 ve 120 yi eleriz çünkü bunlar 4 veya 9a tam bölünür. geriye sadece iki sayı kalır (30 ve 150)
korkmazserkan 21:13 08 Oca 2012 #3
çok teşekkürler hocam diğerlerinede bakarmısınız
paradoks12 21:49 08 Oca 2012 #4
4) ebob(30,72)= 6
30:6=5
72:6=12
normalde havuz olmasa (5+1).(12+1)=78 tane gerekir derdik ama havuza ekilmeyecektir. (bu noktadan sonra takıldım
yani şekil çizilmesi gerekiyor çizmeye çalışayım)
merkezin yerini tahmin edip basit bir iki işlemle sadece 6 noktanın havuzun içine denk geldiğini görmek mümkün yani 78-6=72 fide dikilecektir
30:6=5
72:6=12
normalde havuz olmasa (5+1).(12+1)=78 tane gerekir derdik ama havuza ekilmeyecektir. (bu noktadan sonra takıldım
yani şekil çizilmesi gerekiyor çizmeye çalışayım) merkezin yerini tahmin edip basit bir iki işlemle sadece 6 noktanın havuzun içine denk geldiğini görmek mümkün yani 78-6=72 fide dikilecektir
korkmazserkan 22:12 08 Oca 2012 #5
3 ve 6 yı özellikle çözemedim onlarada bakar mısınız?
MatematikciFM 00:57 09 Oca 2012 #6
3)
I) Bütün tek sayılar ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazılır. Çift sayılar yazılamaz.
100/2=50 50-1=49 (1 i çıkarttık) (49 ADET)
II) 1 den n ye kadar olan sayıların toplamı için, toplamı 100 den küçük tutmak için n yi en fazla 13 alabiliriz. Formülü n.(n+1)/2 idi.
n= 2, 3, ... 13 için toplamlar 3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91
ama tekleri saymıştık, geriye kalan çiftler, 6,10,28,36,66,78 (6 ADET)
III) Herhangi bir x sayısının, n kadar ardışık sayının toplamı şeklinde yazılabilmesi için kural (n>2) :
a) n tek ise; x, n ye tam bölünecek.
b) n çift ise; x, n+1 e tam bölünecek.
Bu kuralı kullanarak
a) n tek olduğunda, örneğin 3 için , 3 ün katlarını arıycaz. Bu katlardan tek olanları I. maddede saymıştık, onları saymıycaz. Çift katlar ise, 2 ve 3 e bölündüğü için 6 ya bölünen sayılardır. II. maddede, 6,36,66 ve 78 sayıldı. Bunları da çıkarırsak ,
12,18,24,30,42,48,54,60,72,84,90,96 bulunur. (12ADET)
n=5 için, x , 10 a bölünmeli. Daha önceden sayılanları çıkarırsak geriye,
20,40,50,70,80,100 kalır. (6 ADET)
n=7 için , x, 14 e bölünmeli , ama 14 olamaz. Yukarıda sayılanları çıkarırsak geriye,
56, 98 kalır. (2 ADET)
n=9 için , x 18 e bölünmeli. Yukarıda 18 in tüm katları sayıldı.
n=11 için , x 22 ye bölünmeli ancak, 1 den 11 e kadar olan sayıların toplamı 66 yapıyordu. O yüzden 66 nın altı işimize yaramaz.66 da sayılmıştı. Geriye 88 kalır. (1 ADET)
n=13 için, x 26 ya bölünmeli ancak, 1 den 13 e kadar olan sayıların toplamı 91 yapıyordu. O yüzden 91 in altı işimize yaramaz.91 de sayılmıştı. 91+13=104 , 100 ü geçtiği için başka sayı yok.
b) n çift olduğunda, Örneğin 4 olduğunda, aradığımız sayıların 5 e bölünmesi gerekecek. Biz zaten a maddesinde 5 e bölünen çift sayıları ayıklamıştık. O yüzden bu maddede, yukarıda sayılanların haricinde sayı gemiycek.
Şimdi, tüm maddelerde parantez içinde yazılı olan adetleri toplarsak,
49+6+12+6+2+1=76 sayı istenilen şartı sağlar.
Umarım yanlış saymamışımdır.
I) Bütün tek sayılar ardışık iki sayının toplamı şeklinde yazılır. Çift sayılar yazılamaz.
100/2=50 50-1=49 (1 i çıkarttık) (49 ADET)
II) 1 den n ye kadar olan sayıların toplamı için, toplamı 100 den küçük tutmak için n yi en fazla 13 alabiliriz. Formülü n.(n+1)/2 idi.
n= 2, 3, ... 13 için toplamlar 3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91
ama tekleri saymıştık, geriye kalan çiftler, 6,10,28,36,66,78 (6 ADET)
III) Herhangi bir x sayısının, n kadar ardışık sayının toplamı şeklinde yazılabilmesi için kural (n>2) :
a) n tek ise; x, n ye tam bölünecek.
b) n çift ise; x, n+1 e tam bölünecek.
Bu kuralı kullanarak
a) n tek olduğunda, örneğin 3 için , 3 ün katlarını arıycaz. Bu katlardan tek olanları I. maddede saymıştık, onları saymıycaz. Çift katlar ise, 2 ve 3 e bölündüğü için 6 ya bölünen sayılardır. II. maddede, 6,36,66 ve 78 sayıldı. Bunları da çıkarırsak ,
12,18,24,30,42,48,54,60,72,84,90,96 bulunur. (12ADET)
n=5 için, x , 10 a bölünmeli. Daha önceden sayılanları çıkarırsak geriye,
20,40,50,70,80,100 kalır. (6 ADET)
n=7 için , x, 14 e bölünmeli , ama 14 olamaz. Yukarıda sayılanları çıkarırsak geriye,
56, 98 kalır. (2 ADET)
n=9 için , x 18 e bölünmeli. Yukarıda 18 in tüm katları sayıldı.
n=11 için , x 22 ye bölünmeli ancak, 1 den 11 e kadar olan sayıların toplamı 66 yapıyordu. O yüzden 66 nın altı işimize yaramaz.66 da sayılmıştı. Geriye 88 kalır. (1 ADET)
n=13 için, x 26 ya bölünmeli ancak, 1 den 13 e kadar olan sayıların toplamı 91 yapıyordu. O yüzden 91 in altı işimize yaramaz.91 de sayılmıştı. 91+13=104 , 100 ü geçtiği için başka sayı yok.
b) n çift olduğunda, Örneğin 4 olduğunda, aradığımız sayıların 5 e bölünmesi gerekecek. Biz zaten a maddesinde 5 e bölünen çift sayıları ayıklamıştık. O yüzden bu maddede, yukarıda sayılanların haricinde sayı gemiycek.
Şimdi, tüm maddelerde parantez içinde yazılı olan adetleri toplarsak,
49+6+12+6+2+1=76 sayı istenilen şartı sağlar.
Umarım yanlış saymamışımdır.
MatematikciFM 01:00 09 Oca 2012 #7
5. sorunun cevabı 1 dir zaten
6. sorunun başı yazılmamış galiba. Tamamlarsan ona da bakarız.
2. soru için şimdilik fikir yürütemedim.
6. sorunun başı yazılmamış galiba. Tamamlarsan ona da bakarız.
2. soru için şimdilik fikir yürütemedim.
korkmazserkan 21:00 09 Oca 2012 #8
6.cı soru tam olarak
Bir bilgisayar oyununda, 50cmx50cm boyundaki bir ekranda hareket eden bir karınca ,
ekranı harhangi bir kenardan terkettiğinde, ekrana,
karşı kenarlardan ve aynı hizadan yeniden giriyor.
...
Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden,
yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle, ekranın,
ekranın aynı köşesinden
yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için,
ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?
Bir bilgisayar oyununda, 50cmx50cm boyundaki bir ekranda hareket eden bir karınca ,
ekranı harhangi bir kenardan terkettiğinde, ekrana,
karşı kenarlardan ve aynı hizadan yeniden giriyor.
...
Bu karıncanın, ekranın sol alt köşesinden,
yatay uzaklığı 10 cm ve dikey uzaklığı 45 cm olan noktadan hareketle, ekranın,
ekranın aynı köşesinden
yatay ve dikey uzaklıkları sırasıyla 40 cm ve 15 cm olan noktaya varması için,
ekran üstünde en az kaç cm yol katetmesi gerekir?
3)
I) Bütün tek sayılar (1 i çıkarttık) (49 ADET)
6,10,28,36,66,78 (6 ADET)
12,18,24,30,42,48,54,60,72,84,90,96 bulunur. (12ADET)
20,40,50,70,80,100 (6 ADET)
56, 98 (2 ADET)
88 (1 ADET)
49+6+12+6+2+1=76 sayı istenilen şartı sağlar.
I) Bütün tek sayılar (1 i çıkarttık) (49 ADET)
6,10,28,36,66,78 (6 ADET)
12,18,24,30,42,48,54,60,72,84,90,96 bulunur. (12ADET)
20,40,50,70,80,100 (6 ADET)
56, 98 (2 ADET)
88 (1 ADET)
49+6+12+6+2+1=76 sayı istenilen şartı sağlar.
burada 1 den 100 e kadar sadece 2x şeklindeki sayılar ardışık sayıların toplamı şeklinde yazılamazlar nedenini açıklayalım:
A sayısı 2 nin kuvveti olsun(A=2r) ve ardışık sayıların toplamı olarak yazıldığını farzedelim yani;
A=x+x+1+x+2+...+x+k şeklinde k+1 tane ardışık sayının toplamı (x,k pozitif tamsayı)
burada sol taraf 2rsağ tarafı şu ardışık sayı toplamını veren ilk terim son terim artış miktarı formülüyle düzenlersek
2r=(2x+k)(k+1)/2 içler dışlardan
2r+1=(2x+k)(k+1) şeklinde görürsek
şimdi k ya tektir yada çifttir
1)eğer k tek ise o zaman sağdaki parantezlerden(2x+k)ifadesi tek sayı ama sol taraf 2r+1 bu olamaz çelişki
2)eğer k çift ise bu sefer yine sağdaki (k+1)ifadesi tek sayı ama sol taraf 2r+1 buda çelişki
o halde 2 nin kuvvetleri ardışık sayıların toplamı olarak yazılamaz (2,4,8,16,32,64)
1 ide eklersek toplam 7 sayı o halde cevap 93 sayı
diğer sayıların yaptığınız işlemlerdende neden yazıldıklarını incelemişsiniz zaten
2.soruda tam anladığım bir nokta var.yani soru virgülden sonra hemen 9 belirdiğinimi iddaa ediyor ve ne kadar 9 la devam ettiğimi soruyor? yoksa virgülden sonra tüm ondalık kısmın içinde toplam ne kadar 9 var bumu?
ikincisi ise herhalde sonsuzdur
2. soru için yukarıda belirttiğim iki nokta dışında eğer bu sayının ondalık kısmının 9 ile başladığı ve bu rakamın kaçıncı rakam olduğu soruluyorsa şu şekilde bir çözüm olabilir
Bunun için verilen sayının tamsayı kısmının kaç rakamlı bir sayı olduğunun bulunması gerekir.Bu iş için 10 tabanlı logaritma kullanılır.(Zira,bir sayının rakam sayısının 1 eksiği, o sayının 10 tabanlı logaritmasının mantisidir, yani logaritmasının tamsayı kısmıdır
Şu halde önce (6+√35)1980 sayısının tam sayı kısmının
rakam sayısını bulmak gerekiyor.√35=5.91607978…..olup
(6+5,91607978…)1980=(11,91607978…)1980 olduğundan,
10 tabanında logaritma alırsak
Log(11,91607978…)1980
=1980.Log(11,91607978...)
=1980.(1,0761334…)
=2130,744137…buluruz.Demek ki A sayısının
tamsayı kısmının rakam sayısı 2130+1=2131 dır.Şu halde 2131 rakamdan sonra A sayının ondalık kısmı başlamaktadır.Ondalık kısmı ise 9 ile başlayacaktır.
yani 2132. rakam 9 ile başlamaktadır
Bunun için verilen sayının tamsayı kısmının kaç rakamlı bir sayı olduğunun bulunması gerekir.Bu iş için 10 tabanlı logaritma kullanılır.(Zira,bir sayının rakam sayısının 1 eksiği, o sayının 10 tabanlı logaritmasının mantisidir, yani logaritmasının tamsayı kısmıdır
Şu halde önce (6+√35)1980 sayısının tam sayı kısmının
rakam sayısını bulmak gerekiyor.√35=5.91607978…..olup
(6+5,91607978…)1980=(11,91607978…)1980 olduğundan,
10 tabanında logaritma alırsak
Log(11,91607978…)1980
=1980.Log(11,91607978...)
=1980.(1,0761334…)
=2130,744137…buluruz.Demek ki A sayısının
tamsayı kısmının rakam sayısı 2130+1=2131 dır.Şu halde 2131 rakamdan sonra A sayının ondalık kısmı başlamaktadır.Ondalık kısmı ise 9 ile başlayacaktır.
yani 2132. rakam 9 ile başlamaktadır