[rozalin]

ax/ay = x/y buradaki bölme işleminde sadeleşmenin ispatını yazar mısınız....yani a lar neden sadeleşiyor?

[duygu95]

çarpım durumundaki ifadeler sadeleşir

a.x/a.y olduğundan çarpım durumundaki a'lar ortaktır sadeleşir bunun ispatına gerek yok bence.

[gökberk]

Sadece a'lar değil,

ax/ay=x/y

ayx=ayx olduğundan hepsini sadeleştirebiliriz. Bu da şu anlama gelir, denklem bu değişkenlerden hiçbirine bağlı değildir. Bütün değerler için sağlanır.

[rozalin]

yazdığınız,ispat değil,sadece bir düşünce...ben ispat arıyorum...her teoremin bir ispatı vardır,sonuçta bu sadeleştirmeyi de teorem olarak düşünebiliriz..

[gökberk]

Hocam madem öyle diyorsunuz, aksine örnek vererek ispat yöntemini kullanarak ben de şöyle bir ispat düşündüm.

axy=axy denkeminin doğruluğunun a'ya bağlı olmadığını gösterirsem, denklemde a'yı yazmayabilirim (sadeleştiririm).

x=1, y=1, a=12 olsun,
12.1.1=12.1.1 eşitlik doğrudur.

x=1, y=1, a=30 olsun,
30.1.1=30.1.1 eşitlik doğrudur.

x ve y sabitken a'yı değiştirerek eşitliğin sağlandığını gördük. Aksini gösterecek bir örnek olmadığından, denklem a'ya bağlı değildir. Sadeleştirilebilir.

[Serkan A.]

a.x

a.y

=k

     olsun

Bölme çarpmaya göre tersi ile çarpmaktır (bunun ispatına gerek yoktur. yoksa her şeyi ispat etmek gerekir).
Bu yüzden

(a.x).(a.y)-1=k         [ (a.y)-1=a-1.y-1 dir. Bunun ispatınıda alt tarafta yapacağım.]

(a.x).a-1.y-1=k

(x.a).a-1.y-1=k   [çarpmada değişme özelliği vardır ]

x.(a.a-1).y-1=k    [çarpmada birleşme özelliği vardır ]

x.1.y-1 = x.y-1 = x/y = k   dir.



(a.x).(a.y)-1= x/y bulunur. Başka bir gösterimle

a.x

a.y

=

x

y

(a.y)^-1=a^-1.y^-1 in ispatı

(a.y)-1=p olsun.     her iki tarafı soldan (a.y) ile çarparsak



(a.y).(a.y)-1=(a.y).p       x.x-1=1 den sol tarafa 1 olacaktır.

1= (a.y).p    değişme özelliğinden 

1= a.(y.p)   her iki tarafı a-1 ile soldan çarpabilirim.

a-1.1 = a-1.a.(y.p)

a-1 = y.p  her iki tarafı y-1 ile soldan çarpabilirim.

y-1.a-1 = y-1.(y.p)

a-1.y-1 = (y-1.y).p

a-1.y-1=p  dir. Başta  (a.y)-1=p idi. O zaman 

(a.y)-1=a-1.y-1

[Serkan A.]

Ek olarak Çarpmada sadeleştirmeyi de ispatlayalım.

a.x=a.y ise a≠0 olmak üzere x=y dir.

x=1.x     (1 yerine a-1.a yazılabilir.)

= 1.x=(a.a-1).x  

= (a-1.a).x      (çarpmada birleşme özelliği vardır)  

= a-1.(a.x)      

= a-1.(a.y)      (a.x=a.y idi)

= (a-1.a).y     (çarpmada birleşme özelliği vardır)

= 1.y=y

x=y dir.