ax/ay = x/y buradaki bölme işleminde sadeleşmenin ispatını yazar mısınız....yani a lar neden sadeleşiyor?

çarpım durumundaki ifadeler sadeleşir

a.x/a.y olduğundan çarpım durumundaki a'lar ortaktır sadeleşir bunun ispatına gerek yok bence.

Sadece a'lar değil,

ax/ay=x/y

ayx=ayx olduğundan hepsini sadeleştirebiliriz. Bu da şu anlama gelir, denklem bu değişkenlerden hiçbirine bağlı değildir. Bütün değerler için sağlanır.

yazdığınız,ispat değil,sadece bir düşünce...ben ispat arıyorum...her teoremin bir ispatı vardır,sonuçta bu sadeleştirmeyi de teorem olarak düşünebiliriz..

Hocam madem öyle diyorsunuz, aksine örnek vererek ispat yöntemini kullanarak ben de şöyle bir ispat düşündüm.

axy=axy denkeminin doğruluğunun a'ya bağlı olmadığını gösterirsem, denklemde a'yı yazmayabilirim (sadeleştiririm).

x=1, y=1, a=12 olsun,
12.1.1=12.1.1 eşitlik doğrudur.

x=1, y=1, a=30 olsun,
30.1.1=30.1.1 eşitlik doğrudur.

x ve y sabitken a'yı değiştirerek eşitliğin sağlandığını gördük. Aksini gösterecek bir örnek olmadığından, denklem a'ya bağlı değildir. Sadeleştirilebilir.

a.x

a.y

=k

     olsun

Bölme çarpmaya göre tersi ile çarpmaktır (bunun ispatına gerek yoktur. yoksa her şeyi ispat etmek gerekir).
Bu yüzden

(a.x).(a.y)-1=k         [ (a.y)-1=a-1.y-1 dir. Bunun ispatınıda alt tarafta yapacağım.]

(a.x).a-1.y-1=k

(x.a).a-1.y-1=k   [çarpmada değişme özelliği vardır ]

x.(a.a-1).y-1=k    [çarpmada birleşme özelliği vardır ]

x.1.y-1 = x.y-1 = x/y = k   dir.



(a.x).(a.y)-1= x/y bulunur. Başka bir gösterimle

a.x

a.y

=

x

y

(a.y)^-1=a^-1.y^-1 in ispatı

(a.y)-1=p olsun.     her iki tarafı soldan (a.y) ile çarparsak



(a.y).(a.y)-1=(a.y).p       x.x-1=1 den sol tarafa 1 olacaktır.

1= (a.y).p    değişme özelliğinden 

1= a.(y.p)   her iki tarafı a-1 ile soldan çarpabilirim.

a-1.1 = a-1.a.(y.p)

a-1 = y.p  her iki tarafı y-1 ile soldan çarpabilirim.

y-1.a-1 = y-1.(y.p)

a-1.y-1 = (y-1.y).p

a-1.y-1=p  dir. Başta  (a.y)-1=p idi. O zaman 

(a.y)-1=a-1.y-1

Ek olarak Çarpmada sadeleştirmeyi de ispatlayalım.

a.x=a.y ise a≠0 olmak üzere x=y dir.

x=1.x     (1 yerine a-1.a yazılabilir.)

= 1.x=(a.a-1).x  

= (a-1.a).x      (çarpmada birleşme özelliği vardır)  

= a-1.(a.x)      

= a-1.(a.y)      (a.x=a.y idi)

= (a-1.a).y     (çarpmada birleşme özelliği vardır)

= 1.y=y

x=y dir.