integral

(√x²-x² -sinx )dx (not: sinx kökte değil)



(√4-x²+x (not: +x kökte değil)

1) İlk soruda kökün sınırlarını tam olarak anlayamadım. Ancak nota binaen √x²-x² olduğunu varsayacağım. Yani -sinx in integaralini alacağım.-sinx in integrali cosx+C olacaktır.

Bu durumda;

cos∏-cos1= -1-cos1 olacaktır.

2)İntegrali ilk olarak √4-x² ve x olarak ikiye ayıralım. Bu durumda ilk olarak √4-x² ifadesinin integralini almaya başlayalım;

Bunun için en uygun dönüşüm;

x=2sinu dönüşümü olacaktır.

iki tarafın türevini alırsak;

dx=2cosudu olur.

∫√4-(2sinu)².2cosudu

=∫2√1-sin²u.2cosudu

=4∫√cos²u.cosudu

=4∫cos²udu=4∫[(cos2u+1)/2]du

=2[u + 1/2sin2u] +c

=2u + sin2u +c

x=2sinu => x/2=sinu => u=arcsinx/2 olacaktır.

Dolayısıyla işlemin sonucu;

2arcsinx/2 + sin(2.arcsinx/2) +c olacaktır.

x in integralini de x²/2 olarak alırsak işlemin nihai sonucu;

2arcsinx/2 + sin(2.arcsinx/2) +x²/2 +c olacaktır.

Sınırları yerine yazarsak;

-√2 için;
2arcsin-√2/2+ sin(2arcsinx-√2/2)+1+c
= -∏/2 -1 +1+c= -∏/2

0 için;

1+c

1+c +∏/2-c=1+∏/2 olacaktır.

3) Verilen şekilde 4 bölgede de taralı alanlar eşittir. Bu durumda f(x) fonksiyonunun tek bir bölgedeki alanını bulup 4 ile çarparsam ve çemberin alanını çıkarırsam taralı alanı bulabilirim.

İşlemi y=f(x) için x eksenine göre integral alarak yapacağız. Bunun için 1. bölgeyi seçelim. 1. bölgede sınırlar alt sınır 0 ve üst sınır 3 olarak belirlenebilir. Bu durumda f(x) in x ile arasında kalan alan;

³∫₀f(x)dx olacaktır. Bize 4 bölgenin toplamı gerektiğinden;

³∫₀4f(x)dx diyebiliriz. Buradan çemberin alanını çıkarırsak;

³∫₀4f(x)dx-∏ olarak taralı alanı ifade edebiliriz.

4) Verilen alan y eksenine göre ve x eksenine göre olmak üzere iki şekilde çözülebilir. Y ye göre çözersek fonksiyonları x=f(y) şeklinde yazıp sağdakinden soldakini çıkarma mantığı ile hareket etmemiz gerekir sınırlarımız alt sınır -2 ve üst sınır 2 olmak üzere;

_-₂∫² [(y²-4)/4]-(y²-4) olacaktır.