Faktöriyel

1. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
100!.98!.a=b²
eşitliğini sağlayan en küçük a sayısı kaçtır? (11)

2. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,
63!−37!=5^a.b eşitliği veriliyor.
Buna göre, a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır? (8)

3.13!.13!−7.13!−4 ifadesinin 10 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? (6)

4. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,
25!.26!.27!.x=y³ eşitliğini sağlayan en küçük x değeri kaçtır? (26)

5. A, x ve y pozitif tam sayılardır.
46!=A.x^y eşitliğinde A bir tek sayı olduğuna göre y'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? (96)

3 ve 4 un çözümü

http://j1310.hizliresim.com/1g/h/tlu5u.jpg

1.
100!.98!=100.99.(98!)²=11.3².10².(98!)²=b² → b=11.3.10.98! için a en küçük değeri olan 11 i alır

2.
63! de 37! dekinden daha fazla 5 çarpanı olacağı açıktır. yani 37! parantezine alırsak parantezin içinde kalan ((63!/37!)-1) sayısı 5 e bölünmez. tüm çarpanlar baştaki 37! den gelecektir.
37:5=7 , 7:5=1 , yani toplam 1+7=8 tane 5 çarpanı vardır.

5.
A tek sayı ise 46! deki tüm 2 çarpanları x^y kısmında bulunmalı
46:2=23 , 23:2=11 , 11:2=5 , 5:2=2 , 2:2=1 , toplam 1+2+5+11+23=42 tane 2 çarpanı var
bu 42 tane 2 yi a.b=42 olmak üzere (2^a)^b şeklinde b=y olacak şekilde x^y ye saklayabiliriz. (x=2^a olmak zorunda değildir mesela x=24 yapılarak da bu iş çözülebilir uyarı olarak yazayım dedim)

uzatmayalım b 42 nin bir çarpanı olmak üzere bizden b lerin toplamını soruyor
42=2.3.7 olduğundan pozitif bölenleri toplamı (1+2).(1+3).(1+7)=96 bulunur.