2 binom sorusu

(x²+1/x)ⁿ
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 5. ve sondan 9. terimin katsayıları eşitse sabit terim kaçtır(495)

(x−2y²+z)¹⁰ açılımında terimlerden biri mxⁿy⁴z³ ise m+n kaçtır(10085)

1)[(x²)+1/x)]ⁿ in açılımında toplamda n+1 tane terim olacaktır. Bu durumda baştan 5. terim

C(n,4)(x^2n-8.(1/x)⁴) olacaktır.

Sondan 9 uncu terimin baştan n-9 uncu terim olduğunu söyleyebiliriz. Bu durumda sondan 9. terim;

C(n,n-8).[(x¹⁶)+(1/x)^n-8] olacağını söyleyebiliriz.

5 ve 9 uncu terimlerin katsayılarını eşitlersek;

C(n,4)=C(n,n-8) ise n-8=4 n=12 olacaktır.

Sabit terimde bilinmeyenlerin üsleri 0 a eşit olacağından;

x^2(12-r).x^-r=x⁰
24-3r=0 r=6 olacaktır.

C(12,r)=C(12,6)=495 sabit terimdir.

2)Bu tip çok terimli açılımlarda terimleri gruplandırma yöntemiyle iki gruba ayırmak işimizi kolaylaştıracaktır. Bu durumda açılımı;

[(x-2y²)+z]¹⁰ için yapalım;

Verilenlere göre z³ ün açılımda bulunduğu terimde (x-2y²) nin üssü 7 olacaktır. Aynı zamanda (x-2y²)⁷ de de y nin üssünün 4 olduğu yani 2y² nin üssünün 2 olduğu durumda x in üssü5 olacaktır. Terimi tüm bu tespitleri birleştirerek yazacak olursak;

(C(10,3).[C(7,2).x⁵.4y⁴].z³)= C(10,3)C(7,2)4.x⁵y⁴z³=10080.x⁵y⁴z³ olacaktır.

Bu durumda m=10080 n=5 olduğu için toplamları ; 10080+5=10085 olacaktır.