2.'yi vereyim. Ötekileri daha sonra yazabiliriz.
a+b+c+d<18 'de değişken değiştirelim:
a,b,c ve d poz. tamsayı olacağından x,y,z,t doğal sayı olmak üzere a=x+1 , b=y+1 , c=z+1 ve d=t+1 ile
x+y+z+t<14 (*) yazılır. Bu eşitsizlik x+y+z+t+w=13 (**)yazılırsa,
w=0 için x+y+z+t=13
w=1 için x+y+z+t=12
.....
w=13 için x+y+z+t=0 olacak şekilde 14'den küçük değerler için çözümü otomatikman bulmaktayım O vakit, (*) eşitsizliğini çözmek (**)'ı çözmekle aynı şeydir.
Burada x, y, z ve t sıfır olabileceğinden tekrarlı kombinasyonun sıfırlı (yâni hiç gelmeme) formülü kullanılır.
C(13+5-1,13)=C(17,13)=2380 elde edilir.
Bu entellektüel çözümden sonra bir de bildik çözüm var; teker teker eşit olabileceği tamsayılara göre hesaplamak, 2. yol:
a+b+c+d=4 ----> C(3,3)
a+b+c+d=5 ----> C(4,3)
a+b+c+d=6 ----> C(5,3)
...........
a+b+c+d=17 ---> C(16,3)
Toplam, formül gereği: C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+.....+C(16,3)=C(16+1,3+1)=C(17,4)=C(17,13)
Formül:
C(n+0,n) + C(n+1,n) + C(n+2,n) +.....+ C(n+k,n) = C(n+k+1,n+1)