1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    temel ka

    a b c ve x birbirinden farklı pozitif tam sayılardır
    a.b.c=x³ old göre a+b+c+x min kaçtır?

    a b c d pozitif tam sayılardır.
    a.b+c.d=60 olduğuna göre a+b+c+d min kaçtır?

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    1.
    burada sık sık aritmetik ortalamanın geometrik ortalamadan büyük olmasını kullanabiliriz;
    a.b.c=x³<((a+b+c)/3)³ (birbirinden farklı dediği için eşitlik durumunu almadık)
    yani 3x<a+b+c , kısaca 4x sorulan değerden küçüktür.

    genelliği bozmadan a<b<c diyebiliriz
    x=p gibi asal sayı olsa a=1 , b=p=x ve c=p² olması gerekeceğinden çelişki elde edilir.
    x bileşik sayı.
    x=4 ise ufak bir deneme ile a=1 , b=2 ve c=32 nin tek çözüm olduğu görülür. toplam 39
    x=6 ise ,
    a=1 için b.c=216 olur ve b+c>28 (ao>go)
    a=2 için b.c=108 ve b+c>20
    a=3 için b.c=72 ve b+c en az 17 (b=8 , c=9)
    a=4 için de b.c=54 olacağından b ve c için çözüm bulunamaz
    kısaca x=6 için en küçük toplam 3+8+9+6=26 bulunur
    bundan sonraki her bileşik x değeri için 4x>26 olacağından daha küçük bir değer elde edilemez. cevap 26

    2.
    genelliği bozmadan ab<=cd diyelim ve x bir doğal sayıyken
    ab=30-x , cd=30+x diyelim
    ao-go dan
    2.√(30-x)≤a+b
    2.√(30+x)≤c+d, taraf tarafa toplanırsa
    2.(√(30-x)+√(30+x))≤a+b+c+d , kareleri alınırsa
    4.(60+2.√(900-x²))≤(a+b+c+d)² , x=30 olamayacağını bildiğimize göre en büyük x değeri olan 29 için
    4.(60+2√59)≤T² ise T en az 18 bulunur, x=29 için cd=59= asal olacağından 18 e ulaşmak mümkün olmaz
    x=28 ve daha azı olduğunda T en az 19 olacağından
    ve a=b=2 , c=7 , d=8 durumunda toplam 19 olabildiğinden cevap 19 deriz.


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları