a b c ve x birbirinden farklı pozitif tam sayılardır
a.b.c=x³ old göre a+b+c+x min kaçtır?

a b c d pozitif tam sayılardır.
a.b+c.d=60 olduğuna göre a+b+c+d min kaçtır?

1.
burada sık sık aritmetik ortalamanın geometrik ortalamadan büyük olmasını kullanabiliriz;
a.b.c=x³<((a+b+c)/3)³ (birbirinden farklı dediği için eşitlik durumunu almadık)
yani 3x<a+b+c , kısaca 4x sorulan değerden küçüktür.

genelliği bozmadan a<b<c diyebiliriz
x=p gibi asal sayı olsa a=1 , b=p=x ve c=p² olması gerekeceğinden çelişki elde edilir.
x bileşik sayı.
x=4 ise ufak bir deneme ile a=1 , b=2 ve c=32 nin tek çözüm olduğu görülür. toplam 39
x=6 ise ,
a=1 için b.c=216 olur ve b+c>28 (ao>go)
a=2 için b.c=108 ve b+c>20
a=3 için b.c=72 ve b+c en az 17 (b=8 , c=9)
a=4 için de b.c=54 olacağından b ve c için çözüm bulunamaz
kısaca x=6 için en küçük toplam 3+8+9+6=26 bulunur
bundan sonraki her bileşik x değeri için 4x>26 olacağından daha küçük bir değer elde edilemez. cevap 26

2.
genelliği bozmadan ab<=cd diyelim ve x bir doğal sayıyken
ab=30-x , cd=30+x diyelim
ao-go dan
2.√(30-x)≤a+b
2.√(30+x)≤c+d, taraf tarafa toplanırsa
2.(√(30-x)+√(30+x))≤a+b+c+d , kareleri alınırsa
4.(60+2.√(900-x²))≤(a+b+c+d)² , x=30 olamayacağını bildiğimize göre en büyük x değeri olan 29 için
4.(60+2√59)≤T² ise T en az 18 bulunur, x=29 için cd=59= asal olacağından 18 e ulaşmak mümkün olmaz
x=28 ve daha azı olduğunda T en az 19 olacağından
ve a=b=2 , c=7 , d=8 durumunda toplam 19 olabildiğinden cevap 19 deriz.