[namalyus]

1. y=Arcsin(e^x) ekstremum değerleri?

2.

lim

h→0

e^h -(1+h)

h²

3.

lim

x→∞

e^x + x^2

e^x -x

4.

f(x)=

x² - 3

x - 2

, x ≠ 2 artan-azalan aralıkları.

5. e^x+2y = 1 ise

dy

dx

= ?

[ömer_hoca]

1. y= Arcsin(e^x) => y'=e^x/[√(1-e^2x)]

Elde edilen türev, x'in hiçbir değeri için sıfıra eşit olamayacağından dolayı verilen fonksiyonun ekstremum değerleri yoktur.

2. Sonuca ulaşabilmek için L'Hospital kuralını iki kez art arda uygulamamız gerekir.

lim

h→0

(e^h-(1+h))/h²=

lim

h→0

(e^h-1)/2h=

lim

h→0

(e^h)/2=


1/2

3. Benzer şekilde L'Hospital kuralını iki kez art arda uygulamamız gerekir.

lim

x→∞

(e^x+x²)/(e^x-x)=

lim

x→∞

(e^x+2x)/(e^x-1)=

lim

x→∞

(e^x+2)/(e^x)=

lim

x→∞

(e^x/e^x) [1+(2/e^x)]=


1

4. f(x)=(x²-3)/(x-2) => f'(x)=(x²-4x+3)/(x-2)²

f'(x)=0 => x₁=1 ve x₂=3

Buna göre, f(x), (-∞,1) ve (3,∞) aralıklarında artan, (1,2)∪(2,3) aralığında azalan bir fonksiyondur.

5. Eşitliğin her iki tarafının logaritması alınırsa:

x+2y=0 => y=-(1/2)x => y'=-(1/2)

Aynı sonuca kapalı fonksiyonun türevini alma yöntemiyle de ulaşabiliriz:

e^x+2y-1=0 => (1+2y')e^x+2y=(1+2y')*1=0 => y'=-(1/2)