1. "Ve" Bağlacı
p ve q önermeleri arasında "ve" bağlacı kullanılarak "p ve q" bileşik önermesini elde etme işlemine "ve" işlemi denir. "p Λ q" ile gösterilir.
p Λ q önermesi p ve önermelerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir.
Pratik Yöntem:
p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın çarpımıdır.
Özellikler
Her p, q, r önermesi için
1. p Λ p ≡ p dır.
2. p Λ q ≡ q Λ p
3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
4. 1 Λ p ≡ p Λ 1 ≡ p
5. 0 Λ p ≡ p Λ 0 ≡ 0
6. p Λ p' ≡ p' Λ p ≡ 0
Matematikteki “Λ” bağlacı ile konuşma dilindeki “ve” bağlacı farklı anlamlar taşıyabilir.
2. “Veya" Bağlacı
p ve q önermeleri arasına “veya” bağlacı kullanılarak “p veya q” önermesini elde etme işlemine denir. “ V “ bağlacı ile gösterilir. p V q önermesinde toplama işlemi geçerlidir.
Pratik Yöntem:
p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın toplamı gibidir. ilk durumda 2 çıkmaktadır. 2 diye doğruluk değeri yoktur. Onu da 1 alırız.
Özellikleri
Her p, q, r önermesi için
1. p V p ≡ p
2. p V q ≡ q V r
3. (p V q) V r ≡ p V (q V r)
4. 0 V p ≡ p V 0 ≡ p
5. 1 V p ≡ p V 1 ≡ 1
6. p V p' ≡ p' V p ≡ 1
3. İse ( Şart Gerektirme) Bağlacı
p ve q önermelerinden “ p ise q” bileşik önermesini p ve q önermelerinden “p ise q” bileşik önermesini elde etme işlemine şart (ise) işlemi denir ve ( p ⇒ q) şeklinde gösterilir.
p ⇒ q önermesinde p doğru q yanlış iken p ⇒ q yanlış diğer durumlarda doğrdur.
En önemli özelliği her p ve q önermesi için;
p ⇒ q ≡ p' V q dir.
Diğer Özellikleri
1. p⇒p ≡ 1
2. p⇒1 ≡ 1
3. 1⇒p ≡ p
4. 0⇒p ≡ 1
5. p⇒0 ≡ p'
6. p⇒p' ≡ p'
7. p'⇒p ≡ p
Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıtı Tersi
q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir.
p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.
q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.
4. "Ancak ve Ancak" Bağlacı (⇔)
p ve q herhangi iki önerme olmak üzere (p ⇒ q ) Λ (q⇒p) önermesine koşullu ya da iki yönlü önerme denir.
o ⇔ q bileşik önermesinde p ile q aynı doğruluk değerlerine sahipseler. p⇔q önermesi doğru değer durumlarda yanlıştır.
Özellikleri
Her p, q önermesi için
1. p⇔p ≡ 1
2. p⇔p' ≡ 0
3. p⇔1 ≡ p
4. p⇔0 ≡ p'
5. p⇔q ≡ p'⇔q'
----------------------------------------------------------------
Önermeler Cebrinin Özellikleri
1. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r) “Λ’ nin “V” üzerine soldan dağılma özelliği”
2. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r) “V” nin “Λ” üzerine soldan dağılma özelliği”
3. (p')' ≡ p
4. (1)' ≡ 0, (0)' ≡ 1
5. ( p Λ q)' ≡ p' V q'
(p V q)' ≡ p' Λ q' ( DE MORGAN)
6. p ⇒ q ≡ p' V q
Uyuşma (Totoloji) Ve Çelişme
Değişkenleri yerine yazılacak her bir önerme için doğru olan önerme ifadelerine totoloji yanlış olan önerme ifadelerine ise çelişme adı verilir.
p ve q önermeleri arasında "ve" bağlacı kullanılarak "p ve q" bileşik önermesini elde etme işlemine "ve" işlemi denir. "p Λ q" ile gösterilir.
p Λ q önermesi p ve önermelerinin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q önermelerinin kesişimi denir.
p q p Λ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Pratik Yöntem:
p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın çarpımıdır.
Özellikler
Her p, q, r önermesi için
1. p Λ p ≡ p dır.
2. p Λ q ≡ q Λ p
3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ r
4. 1 Λ p ≡ p Λ 1 ≡ p
5. 0 Λ p ≡ p Λ 0 ≡ 0
6. p Λ p' ≡ p' Λ p ≡ 0
Matematikteki “Λ” bağlacı ile konuşma dilindeki “ve” bağlacı farklı anlamlar taşıyabilir.
2. “Veya" Bağlacı
p ve q önermeleri arasına “veya” bağlacı kullanılarak “p veya q” önermesini elde etme işlemine denir. “ V “ bağlacı ile gösterilir. p V q önermesinde toplama işlemi geçerlidir.
p q p V q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Pratik Yöntem:
p ve q önermelerinin doğruluğu yukarıdaki doğruluk çizelgesinde görüldüğü gibi bileşenlerin doğruluk değerleri olan 1 ve 0'ın toplamı gibidir. ilk durumda 2 çıkmaktadır. 2 diye doğruluk değeri yoktur. Onu da 1 alırız.
Özellikleri
Her p, q, r önermesi için
1. p V p ≡ p
2. p V q ≡ q V r
3. (p V q) V r ≡ p V (q V r)
4. 0 V p ≡ p V 0 ≡ p
5. 1 V p ≡ p V 1 ≡ 1
6. p V p' ≡ p' V p ≡ 1
3. İse ( Şart Gerektirme) Bağlacı
p ve q önermelerinden “ p ise q” bileşik önermesini p ve q önermelerinden “p ise q” bileşik önermesini elde etme işlemine şart (ise) işlemi denir ve ( p ⇒ q) şeklinde gösterilir.
p ⇒ q önermesinde p doğru q yanlış iken p ⇒ q yanlış diğer durumlarda doğrdur.
p q p ⇒ q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
En önemli özelliği her p ve q önermesi için;
p ⇒ q ≡ p' V q dir.
Diğer Özellikleri
1. p⇒p ≡ 1
2. p⇒1 ≡ 1
3. 1⇒p ≡ p
4. 0⇒p ≡ 1
5. p⇒0 ≡ p'
6. p⇒p' ≡ p'
7. p'⇒p ≡ p
Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıtı Tersi
q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıtı denir.
p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin tersi denir.
q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir.
4. "Ancak ve Ancak" Bağlacı (⇔)
p ve q herhangi iki önerme olmak üzere (p ⇒ q ) Λ (q⇒p) önermesine koşullu ya da iki yönlü önerme denir.
o ⇔ q bileşik önermesinde p ile q aynı doğruluk değerlerine sahipseler. p⇔q önermesi doğru değer durumlarda yanlıştır.
p q p ⇔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Özellikleri
Her p, q önermesi için
1. p⇔p ≡ 1
2. p⇔p' ≡ 0
3. p⇔1 ≡ p
4. p⇔0 ≡ p'
5. p⇔q ≡ p'⇔q'
----------------------------------------------------------------
Önermeler Cebrinin Özellikleri
1. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r) “Λ’ nin “V” üzerine soldan dağılma özelliği”
2. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r) “V” nin “Λ” üzerine soldan dağılma özelliği”
3. (p')' ≡ p
4. (1)' ≡ 0, (0)' ≡ 1
5. ( p Λ q)' ≡ p' V q'
(p V q)' ≡ p' Λ q' ( DE MORGAN)
6. p ⇒ q ≡ p' V q
Uyuşma (Totoloji) Ve Çelişme
Değişkenleri yerine yazılacak her bir önerme için doğru olan önerme ifadelerine totoloji yanlış olan önerme ifadelerine ise çelişme adı verilir.
ÖRNEK 1:
(pvq)Λ(p'→q)'
önermesinin doğruluk değeri nedir ?
ÇÖZÜM 1:
İse işleminin özelliğinin
p→q=p'vq olduğunu yukarıda öğrenmiştik.
O halde (pvq)Λ(p'→q)' ifadesinde kırmızı ile işaretlediğim ifadeyi ayrı inceleyelim.
önce parantez içine bakalım p'→q=pvq olur. Şimdi ifadenin tümünde bakalım
(pvq)Λ(pvq)' ise pvq=r diyelim
rΛr'≡0 bulunur.
ÖRNEK 2:
(p'vq)→(p→q)'
önermesi neye denktir ?
ÇÖZÜM 2:
(p'vq)→(p→q)'
≡(p'vq)→(p'vq)'
≡(p'vq)'v(p'vq)'
≡(p'vq)'
≡pΛq' bulunur.
ÖRNEK 3:
(p V q)′ V (p ⇒ q)′
önermesi neye denktir ?
ÇÖZÜM 3:
(p V q)′ V (p ⇒ q)′ ≡ (p V q)′ V (p′ V q )′
≡ [(p V q) Λ (p′V q )]′
≡ [(p Λ p′) V q]′
≡ (0 V q)′
≡ q′ olur.
ÖRNEK 4:
(p′ V q)′ V (p Λ q) bileşik önermesini en sade şekilde yazınız.
ÇÖZÜM 4:
(p′ V q)′ V (p Λ q) ≡ (p Λ q′) V (p Λ q)
≡ p Λ (q′ V q)
≡ p Λ1
≡ p olur.
(pvq)Λ(p'→q)'
önermesinin doğruluk değeri nedir ?
ÇÖZÜM 1:
İse işleminin özelliğinin
p→q=p'vq olduğunu yukarıda öğrenmiştik.
O halde (pvq)Λ(p'→q)' ifadesinde kırmızı ile işaretlediğim ifadeyi ayrı inceleyelim.
önce parantez içine bakalım p'→q=pvq olur. Şimdi ifadenin tümünde bakalım
(pvq)Λ(pvq)' ise pvq=r diyelim
rΛr'≡0 bulunur.
ÖRNEK 2:
(p'vq)→(p→q)'
önermesi neye denktir ?
ÇÖZÜM 2:
(p'vq)→(p→q)'
≡(p'vq)→(p'vq)'
≡(p'vq)'v(p'vq)'
≡(p'vq)'
≡pΛq' bulunur.
ÖRNEK 3:
(p V q)′ V (p ⇒ q)′
önermesi neye denktir ?
ÇÖZÜM 3:
(p V q)′ V (p ⇒ q)′ ≡ (p V q)′ V (p′ V q )′
≡ [(p V q) Λ (p′V q )]′
≡ [(p Λ p′) V q]′
≡ (0 V q)′
≡ q′ olur.
ÖRNEK 4:
(p′ V q)′ V (p Λ q) bileşik önermesini en sade şekilde yazınız.
ÇÖZÜM 4:
(p′ V q)′ V (p Λ q) ≡ (p Λ q′) V (p Λ q)
≡ p Λ (q′ V q)
≡ p Λ1
≡ p olur.
ÖRNEK 5:
(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 olduğuna göre, (q ⇔ r) ⇒ p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
ÇÖZÜM 5:
(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 ise p ⇒ q′ ≡ 0 ve r′ ≡ 0 olmalıdır.
p ⇒ q′ ≡ 0 ise p ≡1 ve q′ ≡ 0 olur.
Buradan, p ≡1, q ≡ 1 ve r ≡ 1 elde edilir.
Bu doğruluk değeri, istenen bileşik önermede uygularsak,
(q ⇔ r) ⇒ p; (1⇔1) ⇒ 1; 1 ⇒ 1 ≡ 1 olur.
O halde, bu bileşik önerme doğrudur.
ÖRNEK 6:
“ x bir çift sayı ise x2 çift bir sayıdır.” bileşik önermesi veriliyor. Bu bileşik önermenin karşıt, ters ve karşıt ters koşullu önermeleri nedir?
ÇÖZÜM 6:
Verilen bileşik önermede;
hipotez: “x bir çift sayıdır.”
hüküm: “x2 çift bir sayıdır.”
Karşıt: “x2 çift bir sayı ise x bir çift sayıdır.”
Tersi : “x bir çift sayı değil ise x2 çift bir sayı değildir.”
Karşıt tersi: “x2 çift bir sayı değil ise x bir çift sayı değildir.”
(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 olduğuna göre, (q ⇔ r) ⇒ p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
ÇÖZÜM 5:
(p ⇒ q′) V r′ ≡ 0 ise p ⇒ q′ ≡ 0 ve r′ ≡ 0 olmalıdır.
p ⇒ q′ ≡ 0 ise p ≡1 ve q′ ≡ 0 olur.
Buradan, p ≡1, q ≡ 1 ve r ≡ 1 elde edilir.
Bu doğruluk değeri, istenen bileşik önermede uygularsak,
(q ⇔ r) ⇒ p; (1⇔1) ⇒ 1; 1 ⇒ 1 ≡ 1 olur.
O halde, bu bileşik önerme doğrudur.
ÖRNEK 6:
“ x bir çift sayı ise x2 çift bir sayıdır.” bileşik önermesi veriliyor. Bu bileşik önermenin karşıt, ters ve karşıt ters koşullu önermeleri nedir?
ÇÖZÜM 6:
Verilen bileşik önermede;
hipotez: “x bir çift sayıdır.”
hüküm: “x2 çift bir sayıdır.”
Karşıt: “x2 çift bir sayı ise x bir çift sayıdır.”
Tersi : “x bir çift sayı değil ise x2 çift bir sayı değildir.”
Karşıt tersi: “x2 çift bir sayı değil ise x bir çift sayı değildir.”
Alıştırmalar
*****
*****
Diğer çözümlü sorular alttadır.