Pisagor kardeşliği

39 , 40 ve 41 sayıları ile
15-36-39
24-32-40
9-40-41 , şeklinde tamsayı kenarlı ve hipotenüsleri bu başta verdiğimiz ardışık sayılar olan diküçgenler oluşturulabildiğinden 39,40 ve 41 in oluşturduğu gruba pisagor kardeşliği diyelim.

-bir pisagor kardeşliği 5 elaman içerebilir mi?
-bir pisagor kardeşliği en çok kaç eleman içerebilir?

Tam sayılı pisagor üçgenlerini formülüze ve tasnif etmiştim. Evde var. Hatta o notlardan bir yazı ekleyecektim bloga ama çok uzun olduğu için elim değmedi.
7,24,25
9,40,41
11,60,61 üçgenleri aynı yapı ile üretiliyor.

Sorduğunuza notlarıma bakınca cevap verebilirim ancak

peki zor bir soru olduğunu not düşeyim o zaman

Üstad, sizin sorularınızda zor olan cebrik yöntemlerin dışında simetri, benzerlik, analoji gibi araç gerece de ihtiyaç duyulması. Ama güzel...

Ben bu soruya bayağı vakit harcadım, kendim yapamayınca internette araştırdım, konunun çok derin olduğunu gördüm, ne yazık ki daha sonra vaktim olmadı öyle kaldı. Ancak "pisagor kardeşliği en çok kaç eleman içerebilir" bölümü çok ilgi çekici. Şimdi uzatmayayım siz çözümü yazdıktan sonra konu hakkında birkaç şey söyleyeceğim, ilginç bir durum var çünkü, ya da ben konuya yanlış bir yerden yaklaşıyorum...

internette araştırdım derken soruyu başka yerde de gördüyseniz orada çözümü yazmıştım , tümünü okuduysanız çözümü de görmüşsünüzdür
hatta sorunun ikinci kısmını da görmüşsünüzdür , pek ilgisi yok ama işte onu da ikinci kısım olarak yazmıştım , o da ayrı zor bir sorudur
"dikkenarları farkı 1 olan kaç tane pisagor üçgeni vardır?"
örnek 3-4-5 veya 20-21-29

isterseniz çözümü yazayım zaten özel matematik soruları pek ilgi görmüyor
bundan sonra çıkmış ulusal olimpiyat ilk aşama sorularını çözüp buraya ekliycem onlar biraz daha kolay olduğu için ilgi görürler hem de çalışmak isteyen olursa bi faydası dokunur.

Siz bilirsiniz, ne zaman isterseniz o zaman yazın (belki uğraşan vardır, benim soruyla Duygu uğraşmaktaymış meğer). Ben sanırım farklı bir noktaya takıldım. Şimdi pek detaylandırmayayım, çözmek isteyenler üzerinde yanlış bir etkisi olmasın.

peki hocam ben çözüm yazayım siz de itiraz ettiğiniz ya da takıldığınız noktayı belirtirsiniz.
4k+1 şekilli her asal sayının iki kare toplamı şeklinde yazılabildiğinden harketle (Fermat Teoremi - ispatı çok uzun değil ama gerek yok sanırım burada)
bu şekildeki asal sayıların ve bunların tamkatlarının pisagor üçgenlerinde hipotenüs olabileceğini söyleyebiliriz. örnek: 5,10,15,17,29,37,41...

şimdi p₁,p₂,p₃,...,p_n , n tane 4k+1 şekilli asal sayı olsun

p₁,p₂,p₃,...,p_n , ikişerli aralarında asaldırlar çünkü kendileri asaldır.

Çin Kalan Teoremine göre

N≡-1 (modp₁)
N≡-2 (modp₂)
N≡-3 (modp₃)
..
N≡-n (modp_n)

denkliklerinin tamamını sağlayan bir N sayısı bulunabileceğinden
N+1 , N+2 , N+3 , N+4 , ... , N+n sayıları ardışık n tane sayı olup herbiri bir pisagor üçgeninde hipotenüs olabilirler. 4k+1 şekilli sonsuz asal sayı olduğundan n sayısını istediğimiz kadar büyütebiliriz yani istediğimiz uzunlukta herbiri bir pisagor üçgeninde hipotenüs olan bir ardışık sayı dizisi bulunabilir.

Ben şöyle yaklaştım soruya.

a²+b²=c² eşitliğini sağlayan <a,b,c> üçlülerine Pisagoryen üçlüler deniyor. Bu Pisagoryen üçlü sayıları üreten çeşitli algoritmalar var ve hala bulunmakta. Dolaylısıyla henüz bu üçlülerin tamamını üretebilen bir algoritma bulunabilmiş değil.

Şimdi, sizin sorunuzda "en çok kaç eleman içerebilir" diyen bölüm bana sanki, a tane içerebilir, şeklinde bir cevaba bağlanacakmış gibi geldi. Ama benim düşünceme göre bu bilinemezdi, yani sınır konamaz anlamında. Siz şimdi bir adım öteye gidip sınırsız olduğunu göstermişsiniz. Yani bir anlamda aynı noktaya geldik, fikir olarak.

Elinize sağlık üstad, güzel bir sayılar teorisi sorusuydu.

bildiğim kadarıyla tüm pisagor üçlülerini üretebilen bir formül var

k,m,n m>n ve olacak şekilde pozitif tamsayılarken
a=k(m²-n²)
b=k(2mn)
c=k(m²+n²)

ile oluşturulan a,b,c bir pisagor üçlüsüdür ve tüm pisagor üçlülerini de bu şekilde elde edebiliriz diye biliyorum.