Yazdırılabilir görünüm
A)asagıdakı eğrilerin anlatım biçimiyle grafşklerini bulmanızı rica ediyorum.
1)y=3x-x³
2)y=x³-6x²
3)y=x³/3-6x²
4)y=x⁴-2x²
5)y=4x³-3x⁴
6)y=1/x
7)y=x/x-1
8)y=ln(x-2)
B)aşağıdaki verilen fonksiyonların yerel extremum noktalarını bulunuz(x,y) olarak.
bulunun. simdiden tskler
1) f(x)=(x²+2x)³
2) f(x)=x√x-1
3)f(x)=3x-4/x²1
bu soruların benzerlerini hatırlıyorum diyordum meğerse aynılarıymış :)
burada soruların ilk bikaç tanesi sorulmuş zaten , orda da yazdığım gibi fonksiyonların belli x değerleri için değerleri hesaplanır özellikle de bu x değrleri türevin sıfır olduğu , fonksiyonun sıfır olduğu ya da x=0 gibi önemli noktalardan seçilir ki grafik daha iyi ifade edilebilsin. ardından bu x değerlerinin arasında fonksiyonun nasıl bir yol izleyeceği de türevden faydalanılarak çizilir (birleştirilir)
A.5 i ele alalım f(x)=y=4x³-3x4
f(0)=0 dır (0,0) noktasından geçeceğiz
f(x)=x³(4-3x) olduğundan bu fonksiyonun 3 ü çakışık ve 0 olmak üzere 4 kökü vadır son kökü de 3x=4 → x=4/3 olur (4/3,0) noktasından da geçeceğiz
türev alalım ve sıfıra eşitleyelim
f'(x)=12x²-12x³=0 → 12x²(1-x)=0 → x=0 ve x=1 türevin kökleridir. yani bu noktalarda ya local min/max ya da büküm olmalıdır.
ikinci türeve bakalım
f''(x)=24x-36x²=0 → x=0 veya x=2/3 , x=0 hem 1 hem de 2. türevin kökü olduğundan orada büküm olacaktır , extrem nokta değildir.
f'(x)=12x²(1-x) olduğunu bulmuştuk bu x<1 için pozitif , x>1 için negatif olacağından fonksiyon 1 e kadr artan , 1 den sonra ise azalan olacaktır yani 1 local max noktasıdır
artık elimizde şu noktalar var
(0,0) - kök - büküm noktası
(1,1) - local max
(4/3,0) - kök
-∞ dan gelerek (0,0) dan geçerken artan , (1,1) de tepe yapan ve (4/3,0) dan azalarak geçen ve (0,0) aynı zmanda sanki durumuş gibi yapan grafik çizilir
şöyle birşey oluyor
dediğim gibi bu zor olmayan ama zahmetli bir iş yukarıdaki incelemenin aynısını diğer seçenekler için de yapıp şu grafikleri elde etmelisiniz
A.6. y=1/x
A.7. y=x/(x-1)
A.8. y=ln(x-2)
önceki grafikleri de diğer konuda yin wolfram linki olarak vermiştim. eğer herbirini ayrı ayrı incelememizi bekliyorsanız bunun pek uygun olduğunu düşünmüyorum sonuçta ne yapılacağı çok net belli ve yapılanın hamallıktan başka bir mantığı da yok , türev alınır sıfıra eşitlenir falan filan. siz kendi başınıza bu şkilde yapıp linklerdekine benzer grafikler elde edemezseniz hangisinde ve neresinde sorun yaşadığınızı belirtirseniz yardımcı olmaya çalışırız.
B.
extrem noktalarda türev sıfırdır , bu incelenecek o kadar.
dikkat edilecek nokta ise 2. türevin sıfır olmaması eğer sıfırsa o noktada da 3. türevin de sıfır olması ... böyle gider
1.
f(x)=(x²+2x)³ → f'=3.(x²+2x)².(2x+2)=0 → x=-1 veya x²+2x=0 , x=0 veya x=-2
2. türevi alırsak f''=6.x.(x+2)(5x²+10x+4) , burada x=0 ve x=-2 2. türevin de kökü olduklarından buralar büküm noktalarıdır
bize verilen bu fonksiyonun tek extremum noktası x=-1 dedir ve minimum noktasıdır
değeri de f(-1)=(1-2)³=-1 , (-1,-1) noktası local minimum olur
2.
f(x)=x√x-1 , türev alınırsa
f'=(3√x)/2=0 → √x=0 → x=0
2. türev f''=3/(4√x) , x=0 için sıfır olmadığından burası bir extremum noktadır ikinci türev noktanın sağında pozitif olduğundan burası minimum noktasıdır
f(0)=0-1=-1 → (0,-1) noktası local minimum olur
3.
sorunuzun f(x)=(3x-4)/(x²-1) olduğunu varsayıyorum
türev alınır f'=(-3x²+8x-3)/(x²-1)²=0 → 3x²-8x+3=0 → x=(4±√7)/3 , ikinci tüev alınırsa bu noktaların ikinci türevi sıfır yapmadığı görülecektir
f((4-√7)/3)=(4+√7)/2
f((4+√7)/3)=(4-√7)/2 olduğundan
((4-√7)/3,(4+√7)/2) ile ((4+√7)/3,(4-√7)/2) noktaları extremum noktalar olur