2 ile bölünebilme sorusu

Yazımında sadece 1 ve 2 kullanılan 155 basamaklı ve 2¹⁵⁵ ile tam bölünen bir sayı var mıdır?

Ör:2 basamaklı ve 2² ile bölünebilen var mıdır diye sorulsaydı cevabımız evet sayımız da 12 olurdu.

Yoktur. Çünkü 2¹⁵⁵=45.671.926.166.590.700.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
sayısının 155 basamaklı 1 ve 2 den oluşan sayıyı bölmesi mümkün değildir...

öncelikle 2¹⁵⁵ sayısının hesaplanmasında bir hassasiyet hatası olmuş diyorum.

şu soruya atfen bu soruyu yazdım. o sorunun yorumlarında 2¹⁵⁵ sayısının tüm 47 basamağını birden veren wolfram linkini bulabilirsin ve sayınınsonunda senin bulduğun gibi sıfırlar yok.

eğer bölünemez sonucuna bu sıfırlardan yola çıkarak vardıysan birşey demiyorum ama başka türlü 10¹⁵⁴ mertebesinde bir sayının 10⁴⁶ mertebesinde bir sayıya bölünmediğini veya bölünemeyeceğini tek satırdan biraz daha uzun açıklamak gerekli gibime geliyor :)

2² için 12
2³ için 112
2⁴ için 2112
2⁵ için 22112
2⁶ için 122112
2⁷ için 2122112
2⁸ için 12122112
2⁹ için 212122112
2¹⁰ için 1212122112
.
.
.
2¹⁵⁵ için 12121212.....12122112(cevap)

sayının ne olduğunu bilmiyorum
nasıl bulduğunu da tam anlayamadım, büyük ihtimalle bulduğun sayı 2¹⁵⁵ ile tam bölünmeyecek çünkü bulduğun sayıdaki 1 ve 2 ler bir sıra izliyormuş izlenimi verdi.
amma ve lakin böyle bir sayı vardır. sayıyı bulmak yerine varlığını göstermeyi deneyebilirsin.

sorunun etiketleri yardımcı olabilir belki.

Dim x As Double
Dim y As Double
Dim z As Double
z = 2 ^ 155
x = 10 ^ 155
While x = x
y = x / z
If Not y = 0 Then
x = x + 1
Else
TextBox1.Text =TextBox1.Text& x


End If
If x= 10^156 Then
exit while
end if
End While

bu kodları işlemcisi ve rami çok yüksek (süper pc) bilgisayarlarda çalıştırısak bize sayıyı verir

bu kod ile x in sadece 1 ve 2 lerden oluşmasını sağlatamazsın ,
y=x/z yi tanımlarken y kalan olarak tanımlanıyorsa (burada sanki bölüm olarak tanımlanmış)
bu işlem x ilk defa 2¹⁵⁵ ile bölündüğünde sonlanır ve bu da
10²⁵⁵+2²⁵⁵ den daha büyük bir sayı olmayacaktır. (hatta 10²⁵⁵ yani ilk x z ile bölünüyor)

bu bulunacak sayının da ilk basamağı 1 dir fakat ondan sonraki bir dürü basamağı 0 olacaktır.

ama çok fazla çıkmaz orda 1 v2 den oluşanlar bulunabilir çok fazla saçenek olsa bile 10 dk alınır enfazla

malesef çok fazla seçenek olur hatta sayısını vereyim
10²⁵⁵ ile 10²⁵⁶ arasında yaklaşık
9.10²⁵⁵/2²⁵⁵=9.5²⁵⁵ tane sayı istenilen koşula uyar. aralarından seçmeye kalksan ömrünün yetmeyeceğine emin olabilirsin :)

kontdragon333'den alıntı:

2² için 12
2³ için 112
2⁴ için 2112
2⁵ için 22112
2⁶ için 122112
2⁷ için 2122112
2⁸ için 12122112
2⁹ için 212122112
2¹⁰ için 1212122112
.
.
.
2¹⁵⁵ için 12121212.....12122112(cevap)

aslında bu işlemlerin devam ettirilip 2¹⁵⁵ sayısına kadar gidilebileceği şu şekilde yakalanabilirdi şimdi
1212122112 sayısı 2¹⁰ ile bölünüyor o halde bunun soluna 1 yada 2 koyup oluşan 11 basamaklı sayının 2¹¹ ile bölündüğünü gösterelim
pratik yazılış açısından 1212122112 sayısına A diyelim
A nın soluna 1 eklersek oluşan sayıyı 1A=10¹⁰+A
A nın soluna 2 eklersek oluşan sayıyı 2A=2.10¹⁰+A şeklinde görürsek
şimdi 2 değişik durum vardır

1.durum) eğer A sayısı 2¹¹ ile bölünüyorsa demekki A nın soluna 2 yazıcaz
böylece oluşan 2A=2.10¹⁰+A sayısıda 2¹¹ ile bölünür
çünkü hem A hemde 2.10¹⁰=2¹¹.5¹⁰ sayıları 2¹¹ ile bölünür

2.durum) eğer A sayısı 2¹¹ ile bölünmüyorsa A sayısının soluna 1 yazıp oluşan 1A sayısının 2¹¹ ile bölünmesini sağlayabiliriz bunuda şöyle gösterelim
A sayısı 2¹¹ ile bölünmüyorsa o zaman A sayısı şu şekilde yazılmak zorunda
A=2¹⁰(2x+1) burada x≥0 ve x tam sayı
şimdi soluna 1 eklendiğinden
1A=10¹⁰+2¹⁰(2x+1)
1A=10¹⁰+2¹¹.x+2¹⁰
1A=2¹¹.x+2¹⁰(5¹⁰+1)
parantez içindeki 5¹⁰+1 çift sayı o halde son dueumu düzenleyip
1A=2¹¹.x+2¹⁰.2y yazarsak
1A=2¹¹.x+2¹¹.y
sağ tarafın 2¹¹ ile bölünen bir sayı olduğunu görmek artık kolay

sonuç olarak:
eğer sadece 1 ve 2 lerden oluşan n basamaklı bir sayı 2ⁿ ile bölünüyorsa bu sayı 2ⁿ⁺¹ ilede bölündüğünde soluna 2 ekleyip bunu n+1 basamağa çıkarırız

eğer sadece 1 ve 2 lerden oluşan n basamaklı bir sayı 2ⁿ ile bölünüyor fakat aynı sayı 2ⁿ⁺¹ ile bölünmüyorsa bu sayının solunada 1 yazarak oluşturacağımız n+1 basamaklı sayı artık 2ⁿ⁺¹ ile bölünür

evet hocam sayının varlığını böylece göstermiş oluyoruz