Verdiğiniz örnek zaten yanlış hocam, bir yanlış anlama oldu herhalde. F(8.A)/F(A) değil ki, F(A)/F(8.A) isteniyor.

şuanda soru hakkında ayrıntılı düşünmedim ondan öyle hatalı bir yazım oldu, ama soru ilk sorulduğunda baya uğraşmıştım.
bu arada sizin düzelttiğiniz gibi demek istemiştim tabi

örnek vereyim A=3750000.... tarzı bir sayı için;
F(A)/F(8.A)=16/2 olur demek istedim

sayının neden sıfırla bitmek zorunda olduğunu anlayabilmiş değilim. ya da sayının rakamları toplamıın neden azaltılmaya çalışıldığını anlayabilmiş değilim.

şöyle düşünelim
(100x+1000)/(x+15) ifadesinin max değeri nedir diye bir soru sorulunca biz paydayı minimize etmeye mi çalışırız?
ne yazık ki bu yöntem doğru değil çünkü payda pay olarak yazdığımız şeyden bağımsız değil tek taraflı en büyük olması için payda en küçük olmalıdır dediğimizde bu basi örnekte bile hata vermiş oluruz çünkü burada payda büyüdükçe kesrin değeri de büyümekte.

bu sadece 8 değeri veren sayılardan biri, zaten en başta da dediğim gibi ispat konusunda işin içinden çıkamadım, daha doğrusu bişeyler yapmaya çalıştım ama çok karışık geldi yarıda bırakmak zorunda kaldım, yani pes ettim :)

Dediğiniz doğru sayın gereksizyorumcu, ama ben de bu büyümenin sabit kalmasını sağlıyorum. Sizin dediğiniz şekilde payı ve paydayı kontrolsüz biçimde büyültürsek hiçbir zaman maksimum değeri bulamayız. Burada maksimum değerin en azından 8 olduğunu ispat ettiğimi zannediyorum. Daha da yüksek olması mantıken imkansız gözüküyor.

bana göre aristo mantığı kullandığımızda n basamaklı bir sayının rakamları toplamı 9n olabilir , 8*bu sayı da (n+1) basamaklıdır ve rakamları toplamı en az 1 dir. bu bölümün üst değeri 9n/1=9n olur, n i sınırlayamadığımıza göre de şu an için bir üst limitten bahsedemeyiz. belli yöntemlerle bu aristo mantığını kırmalıyız

tabi burdan şu anlaşılmasın lütfen ben bunun sonucu sınırsızdır ya da 8 değildir gibi birşey demiyorum ki zaten cevap 8 :)
sadece yaptığınız şekilde bu bölümün özel bir durumunu göstermiş olduğunuzu belirtmeye çalışıyorum. siz sadece max. değerin 8'den az olmadığını göstermiş oluyosunuz, 9-10-11 ya da 100 olamayacağı burdan anlaşılmaz.

isterseniz bir çözüm yazabilirim ya da üzerinde düşünmeye devam edecekseniz yazmayabilirim.

Tam olarak değil tabi. Ben de kabul ediyorum bunun tam bir ispat ya da matematiksel ispat olmadığını, 8 den büyük olamayacağını matematiksel olarak gösterebileceğimi zannetmiyorum.

bir çözüm yazayım bu soruyu geçelim isterseniz

öncelikle A ve B doğal sayılarken
F(A+B) ≤ F(A) + F(B) olduğu tespitiyle başlayalım. normal toplamı işlemi gibi sayıları alt alta yazdığımızda alt alta gelen her iki basamğın toplamının sonuçta verdikleri toplamdan küçük olmamasından bunu görüyoruz.

bu işlemi A=B için tekrar ettiğimizde n herhangi bir doğal sayıyken
F(n.A) ≤ n.F(A) olduğunu görüyoruz.

şimdi A=a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+...+a₁.10¹+a₀.10⁰ olmak üzere (bu yazımın adı basamak açılımıydı galiba)

ve B yine bir doğal sayı olmak üzere
A.B=B.a_n.10ⁿ+B.a_n-1.10^n-1+...+B.a₁.10¹+B.a₀.10⁰ olur ve
F(B.a_n.10ⁿ)=F(B.a_n) ≤ F(B).F(a_n) olduğundan

F(A.B) ≤ F(A).F(B) eşitsizliğini elde ederiz, yani buradan şunu göstermiş olduk ki iki sayının çarpımının rakamları toplamı bu sayıların rakamları toplamının çarpımından büyük değildir.

şimdi B=1000 olsun
F(1000.A)=F(125.8.A) ≤ F(125).F(8A)=(1+2+5).F(8A)=8.F(8A)
yani bir sayının rakamları toplamı 8 katının rakamları toplamının 8 katını asla geçemez. A=125 de eşitlik durumuna bir örnek olduğuna göre bu en iyi değerdir.

Sizin ki tam ispat oldu. Teşekkür ederim. Anladım.