Temel Sayma Yöntemleri

1-) 1/2, 1/3, 1/4,...,1/100 sayılarından oluşan ve çift sayıda eleman içeren tüm kümeler alınıyor ve kümedeki sayıların çarpımı hesaplanıyor. Tüm çarpımların toplamını bulunuz.
A) 100! B) 50! C) 25 D) 99×49/100 E) 99×49/200




2-) 6 farklı kişiye 6 farklı mektup yazıldı ve üzerine bu kişilerin adresleri yazılı 6 zarf hazırlandı. Hiçbir kişinin adı yazılan zarfa, bu kişiye yazılan mektup konulmayacak şekilde kaç yolla her zarfa birer mektup konulur?
A) 36 B) 6 C) 6! D) 6³ E) 265






3-) Bir satranç turnuvasına katılan her oyuncu diğer oyunculardan her biriyle tam olarak bir kez karşılaşıyor. Her oyunda, yenen oyuncu 1, yenilen ise, 0 puan kazanırken, beraberlik durumunda her oyuncu 0.5 puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde, oyunculardan her birinin, elde ettiği toplam puanın tam olarak yarısını, en düşük toplam puanlı üç oyuncu ile yaptığı karşılaşmalardan elde etmiş olduğu gözleniyor. Bu turnuvaya kaç oyuncu katılmıştır?
A)4 B)5 C)6 D)9 E)10





4-) {1,2,4,5,6,8,9,10,11} kümesinin elemanları arasında iki ardışık sayı bulunmayan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A)26 B)29 C)42 D)78 E)126





5-) Tüm basamlarındaki rakamlar birbirinden farklı olan ve 11111 ile bölünen on basamaklı kaç tam sayı vardır?
A)0 B)1264 C)2842 D)3456 E)11111


Kolay gelsin. İlgilenenlere şimdiden teşekkürler.

C-5)

9.8.6.4=3456 olur sanırım.

duygu95'den alıntı:

C-5)

9.8.6.4=3456 olur sanırım.

Niçin? :/

C.4
4 elemanlı alt kümeleri=C(9,4)=9!/5!.4!=9.8.7.6/4.3.2=126
Ardışık ifadeler={1,2}{4,5}{5,6}{8,9}{9,10}{10,11}=6 tane
126-6=120 diye düşündüm.

Kümede hata yok değil mi?

Melek12'den alıntı:

C.4
4 elemanlı alt kümeleri=C(9,4)=9!/5!.4!=9.8.7.6/4.3.2=126
Ardışık ifadeler={1,2}{4,5}{5,6}{8,9}{9,10}{10,11}=6 tane
126-6=120 diye düşündüm.

Kümede hata yok değil mi?

Bence çözüm eksik, ama nasıl devam ettireceğime karar veremedim :) Şöyle söyleyim,

{1,2}{4,5}{5,6}{8,9}{9,10}{10,11} bunlar 2 elemanlı kümeler, yani yanlarına 2'şer eleman daha seçeceğiz.

C(7,2)=21 farklı küme sadece {1,2} için yazılır.
126-21=105 tane kaldı.

Bu şekilde {4,5}, {5,6}... ikilileri için de düşünmem lazım biraz :)

gökberk'den alıntı:

Bu şekilde {4,5}, {5,6}... ikilileri için de düşünmem lazım biraz :)

evet bu şekilde bir çözüm izleyince başka şeyleri de düşünüp eklememiz hatta onun ardından da fazladan çıkardığımız şeyleri de yniden eklememiz gerekir.

ben şöyle düşündüm:
4.
kümeyi ardışık eleman içeren 3 gruba ayıralım
{1,2}-{4,5,6}-{8,9,10,11}
4 eleman seçilecekse bu gruplardan en az 1 tanesi 2 eleman içerecektir. bu ilk küme olamaz . eğer 2. küme ise bu elemanlar sadece 4 ve 6 olabilir
a)4 ve 6 seçildiğinde , ilk kümeden eleman alınacaksa 2 ihtimal , son eleman da 3. kümeden C(4,1)=4 şekilde seçilir toplam 8 durum
ilk kümeden eleman alınmayacaksa son 2 eleman son kümeden C(4,2)-C(3,1)=3 şekilde alınabilir toplam 3 durum
4 ve 6 seçilmesi için toplam 11 durum oluştu
b)2. kümeden 1 eleman seçildiğinde , bunun için 3 seçenğimiz var
ilk kümeden 1 elman almak zorundayız, 2 seçenek
son kümeden 2 eleman almak zorundayız , 3 seçenek
burada da 3.2.3=18 durum var

toplam 18+11=29 durum olabilir

Teşekkürler hocam, işin içinden çıkamamıştım :)

1.
şimdilik bi çözüm bulamadım görünüşte zor gibi sonra bakayım buna

2.
bu konuya göz atabilirsiniz
cevap 6!/e ye en yakın tam sayı olacaktır. bu da 265

3.
oyuncu sayısı n olsun , toplam puanın C(n,2) olduğunu görüyoruz.
şimdi son 3ü ayıralım bunların son3 ten alacağı puanların toplamı C(3,2)=3 maç yapacaklarından 3 olacaktır yani son 3 lünün puanları toplamı da 6 olacaktır bunların 3 ünü son 3 te yer almayan (n-3) kişiden almışlardır.
bu (n-3) kişinin kendi aralarındaki maçlarındaysa toplam C(n-3,2) puan oluşur
soruda anlatılana göe C(n,2)=2.(C(n-3,2)+3) elde edilir
bu 2. dereceden deklem de çözülürse galiba n=4 ve n=9 çıkıyor
n=4 nasıl çıktı onu anlayamadım ya da onu nasıl eleriz şimdi kafam karışık pek kavrayamıyorum. n=9 u işaretleriz , n=4 ü sonraya bırakırız.

5.
bu sayı 9 a bölünecektir , aynı zamanda 11111 e bölüneceğinden 99999 ile de bölünür . diyelim ki sayı
99999.k şeklinde (10000<k<99999) , k ekleyip çıkartırsak
100000k-k olur bu da sayının ilk beş basamağı ile son 5 basamağının sırayla birbirini 9 a tamamlaması anlamına gelir biraz bakarsanız görebilirsiniz. (örnek 9876501234)
sonrasındaya Duygu'nun çarptığı sayılara ulaşıyoruz sanırım.

2. soru için daha uygun link vereyim , yukardaki link daha farklı bir soru içinmiş
https://www.matematiktutkusu.com/for...zi-sorusu.html

1. soru için size biraz ipucu vereyim belki işinize yarar.

Kökleri verilen sayılar olan 99. dereceden polinomu düşünün. Aranan sayı bu polinomun köklerinin çift tanesinin çarpımlarının toplamıdır. Bunun aslında polinomun başkatsayısı dışındaki tek dereceli kuvvetlerin katsayıları toplamı olduğuna dikkat ediniz. Bu arada cevap E seçeneğidir.

mathematics21'den alıntı:

1. soru için size biraz ipucu vereyim belki işinize yarar.

Kökleri verilen sayılar olan 99. dereceden polinomu düşünün. Aranan sayı bu polinomun köklerinin çift tanesinin çarpımlarının toplamıdır. Bunun aslında polinomun başkatsayısı dışındaki tek dereceli kuvvetlerin katsayıları toplamı olduğuna dikkat ediniz. Bu arada cevap E seçeneğidir.

bu hiç aklıma gelmemişti. çözüm gibi ipucu olmuş :)
(x-1/2).(x-1/3)...(x-1/100) polinomunu yazdığımızda dediğiniz gibi x=1 ve x=-1 alıp soruyu çözebiliyoruz.
ben hep kombinatorik yollarda takıldım. oradan da bişeylr çıkacaktır ama bulamamıştım.

gereksizyorumcu'den alıntı:

(x-1/2).(x-1/3)...(x-1/100) polinomunu yazdığımızda dediğiniz gibi x=1 ve x=-1 alıp soruyu çözebiliyoruz.
ben hep kombinatorik yollarda takıldım. oradan da bişeylr çıkacaktır ama bulamamıştım.

sayma,kombinatorik yollarla yukarıdaki polinomda x=1 ve x=-1 yazmak galiba türkçesi yanlış yapmadıysam şu oluyor;
çift miktarda alınıp tüm çarpımların toplamı ile (buna Ç diyelim)
tek miktarda alınıp tüm çarpımların toplamı nın (buna T diyelim)
bi toplanması bide çıkarılması anlamına geliyor galiba yani
Ç+T=(1+1/2)(1+1/3)...(1+1/100)-1=(101/2)-1=99/2
Ç-T=(1-1/2)(1-1/3)....(1-1/100)-1=(1/100)-1=-99/100
2Ç=(99/2)-(99/100)
Ç=99.49/200

3.sorunun cevabında n=9 işaretleriz n=4 ü sonraya bırakırız dediniz:)
n=4 alamayız çünkü n=4 için en son yazdığınız ifade 0 yapıyor oyuncuda 0 puanda olmayacağı için n=9 alıyoruz sadece

hocam ben sayma ya da kombinatorik herneyse o yollardan bulamamıştım. mathematics21 hocamızın verdiği ipucu ile sizin yaptığınız gibi çözüm kolayca bulunuyor.

9 mu 4 mü sorusunda da 4 olduğunda 1. oyuncunun puanına bakmamıştım 0 çıkıyormuş son 3 te olması gereken oyuncular da 2 şer puanla ilk 3 ü paylaşıyolar :)
9 için çözüm var mı bu da sorunun çözüm bekleyen tarafı. cevabın 9 olması için bu da gerekli ama ben soruyu soranın yalancısıyım, çözüm varmış gibi sormuş :)

gereksizyorumcu'den alıntı:

1.
şimdilik bi çözüm bulamadım görünüşte zor gibi sonra bakayım buna

2.
bu konuya göz atabilirsiniz
cevap 6!/e ye en yakın tam sayı olacaktır. bu da 265

3.
oyuncu sayısı n olsun , toplam puanın C(n,2) olduğunu görüyoruz.
şimdi son 3ü ayıralım bunların son3 ten alacağı puanların toplamı C(3,2)=3 maç yapacaklarından 3 olacaktır yani son 3 lünün puanları toplamı da 6 olacaktır bunların 3 ünü son 3 te yer almayan (n-3) kişiden almışlardır.
bu (n-3) kişinin kendi aralarındaki maçlarındaysa toplam C(n-3,2) puan oluşur
soruda anlatılana göe C(n,2)=2.(C(n-3,2)+3) elde edilir
bu 2. dereceden deklem de çözülürse galiba n=4 ve n=9 çıkıyor
n=4 nasıl çıktı onu anlayamadım ya da onu nasıl eleriz şimdi kafam karışık pek kavrayamıyorum. n=9 u işaretleriz , n=4 ü sonraya bırakırız.

5.
bu sayı 9 a bölünecektir , aynı zamanda 11111 e bölüneceğinden 99999 ile de bölünür . diyelim ki sayı
99999.k şeklinde (10000<k<99999) , k ekleyip çıkartırsak
100000k-k olur bu da sayının ilk beş basamağı ile son 5 basamağının sırayla birbirini 9 a tamamlaması anlamına gelir biraz bakarsanız görebilirsiniz. (örnek 9876501234)
sonrasındaya Duygu'nun çarptığı sayılara ulaşıyoruz sanırım.

Gereksiz yorumcu, çözümleriniz için teşekkürler. Bir şey sormak istiyorum 2. soruyu permütasyon-kombinasyon ile falan da yapamaz mıydık acaba? Çözümünüzü anladım ama sadece merak ettim. Tekrar teşekkürler.

Melek12'den alıntı:

C.4
4 elemanlı alt kümeleri=C(9,4)=9!/5!.4!=9.8.7.6/4.3.2=126
Ardışık ifadeler={1,2}{4,5}{5,6}{8,9}{9,10}{10,11}=6 tane
126-6=120 diye düşündüm.

Kümede hata yok değil mi?

Sanırım eksik oldu. Ama soru çözüme ulaştı. Yine de teşekkürler. :)

Diğer ilgilenenlere de teşekkürler.

Genç Sayısalcı'den alıntı:

Gereksiz yorumcu, çözümleriniz için teşekkürler. Bir şey sormak istiyorum 2. soruyu permütasyon-kombinasyon ile falan da yapamaz mıydık acaba? Çözümünüzü anladım ama sadece merak ettim. Tekrar teşekkürler.

linkteki yorumlarda çözüm var ama buraya da aktarayım.

6 mektup var 6 tane de alıcı var (mektupların üzerine yazılmış adreser o mektubu kişiyle eşleştiren bir bağ gibi düşün yani 3 farklı nokta yok mektuplar ve kişiler var)
bizden hiçbir mektubu gerçek alıcısının almaması isteniyor.

içerme dışarma ilkesinin sonucu olarak şunu hesaplarız
+tüm durumlar
-1 kişinin kendi, mektubunu aldığı durumlar (diğerlrinin kendi mektubunu alıp almaması bizi ilgilendirmez , 1 kişi seçer onun kendi mektubunu aldığı tüm durumları hesaplarız)
+2 kişinin kendi mektubunu aldığı durumlar
-3 kişinin kendi ..
..
+6 kişinin de kendi mektubunu aldığı durumlar

6!-C(6,1).5!+C(6,2).4!-C(6,3).3!+C(6,4).2!-C(6,5).1!+C(6,6)
720-720+360-120+30-6+1=265 durumda hiçkimsekndi mektubunu almamış olur.

3. soru için küçük bir yorumda bulunayım. Turnuvaya katılacak kişi sayısının 4 olamayağı kesinleşti. Bu arada her oyuncunun alacağı puanın bir tamsayı olması gerektiğine dikkat edelim. Puan sıralamasında son üç sırada olmayan bir oyuncunun son üç sırada olan oyunculardan alabileceği toplam puan en fazla 3 olduğuna göre birinci olan oyuncunun alabileceği en yüksek puan 6 dır. Eşit puanlı oyuncuların olmaması durumunda turnuvaya katılan kişi sayısı 9 ise bunları sıralamak için birinci oyuncunun puanı en az 8 olmalıdır. Bu da bize çelişki verir. Eşit puanlı oyuncuların olabilmesi durumunda sıralama nasıl yapılır bilmiyorum ama eşit puanlı oyuncu olma durumu için yine de bir örnek bulmak gerekir.

ilk 6dakilerin hepsinin 5er puan son 3tekilerin hepsinin 2 şer puan aldığı bir durum oluşturulabiliyor

Eşit puanlı oyuncuların olabilmesi durumunda 9 oyuncu için maç tablosu aşağıdaki gibi bir örnek oluşturdum:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 P
1 x 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 5
2 0,5 x 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 5
3 0,5 0,5 x 0,5 0,5 0,5 1 0,5 1 5
4 0,5 0,5 0,5 x 0,5 0,5 1 0,5 1 5
5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 0,5 1 1 0,5 5
6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 1 1 0,5 5
7 0,5 0,5 0 0 0 0 x 0,5 0,5 2
8 0 0 0,5 0,5 0 0 0,5 x 0,5 2
9 0 0 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 x 2

tabloda ilk sütun ve ilk satırdaki 1, 2, ..., 9 sayıları oyuncuların puan sıralamasındaki yerlerini son sütun da her oyuncunun aldığı toplam puanı gösteriyor. Tablodaki diğer sayılar o sayının bulunduğu satırın başında belirtilen sıradaki oyuncunun o sayının bulunduğu sütunun tepesinde belirtilen oyuncu ile yaptığı maçtan aldığı puanı gösteriyor.

Aynı anda düşünmüşüz demek ki ama daha erken yazmışsınız cevabı. Güzel oldu bence.

aşağıdaki şekilde daha güzel görünüyor.

https://img844.imageshack.us/img844/...at14022012.jpg

gereksizyorumcu'den alıntı:

linkteki yorumlarda çözüm var ama buraya da aktarayım.

6 mektup var 6 tane de alıcı var (mektupların üzerine yazılmış adreser o mektubu kişiyle eşleştiren bir bağ gibi düşün yani 3 farklı nokta yok mektuplar ve kişiler var)
bizden hiçbir mektubu gerçek alıcısının almaması isteniyor.

içerme dışarma ilkesinin sonucu olarak şunu hesaplarız
+tüm durumlar
-1 kişinin kendi, mektubunu aldığı durumlar (diğerlrinin kendi mektubunu alıp almaması bizi ilgilendirmez , 1 kişi seçer onun kendi mektubunu aldığı tüm durumları hesaplarız)
+2 kişinin kendi mektubunu aldığı durumlar
-3 kişinin kendi ..
..
+6 kişinin de kendi mektubunu aldığı durumlar

6!-C(6,1).5!+C(6,2).4!-C(6,3).3!+C(6,4).2!-C(6,5).1!+C(6,6)
720-720+360-120+30-6+1=265 durumda hiçkimsekndi mektubunu almamış olur.

Çok teşekkür ederim, zahmet verdim kusura bakmayın. Son bir sorum daha olacak. Neden bir + bir - şeklinde gidiyor?

mathematics21'den alıntı:

aşağıdaki şekilde daha güzel görünüyor.

https://img844.imageshack.us/img844/...at14022012.jpg

Çok teşekkür ederim, düşüncelerinizi aktardığınız için. Ayrıca tablo da açıklayıcı bir tablo olmuş. Ellerinize sağlık, tekrar teşekkürler.

Kümelerin birleşiminin eleman sayısının nasıl bulunduğunu hatırlarsan + ve - lerin nasıl olduğunu daha rahat anlayabilirsin. Üç veya 4 küme için düşünürsen daha iyi yol gösterir.

mathematics21'den alıntı:

Kümelerin birleşiminin eleman sayısının nasıl bulunduğunu hatırlarsan + ve - lerin nasıl olduğunu daha rahat anlayabilirsin. Üç veya 4 küme için düşünürsen daha iyi yol gösterir.

Tamam teşekkür ederim. Dediğiniz şekilde üzerinde biraz düşününce anladım.