permütasyon r tane elemanın hepsinin önünde? Ornek Soru

merhaba arkadaslar oncelıkle yukardakı teorem neye gore kurulmus

ağagıdaki sorunun cozumunu detaylı şekılde açıklarmısınız?

Teoremin ispatını n-r notasyonu ile yapmak (yazmak açısından) oldukça karışık olacaktır ve internet üzerinde benim bildiğim bir ispat yok. Ama ben sana soruların açıklamalı bir çözümünü yapayım, belki işine yarar. Belki diğer hocalar teorem için de basit bir ispat yaparlar.

2. Haktan'ın (H) hem Caner (C) hem de İhsan'ın (İ) önünde olması için 1, 2, 3 veya 4. sıralardan birinde olması gerekir.

H=1 ise (Haktan birinci sıradaysa) geriye kalan 5 kişi 5!(=120) şekilde sıralanabilir.
H=2 ise geriye kalan 4 kişi 4! şekilde sıralanabilir. Aynı zamanda Haktan'ın önünde yer alan bir kişi İ ve C dışında kalan 3 kişi arasından seçileceği için H=2 halinde sıralama 4!*3(=72) farklı şekilde olabilir.
H=3 ise geriye kalan 3 kişi 3! şekilde sıralanabilir. Haktan'ın önündeki iki kişi ise üç arasından 3*2 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumda da sıralama 3!*3*2(=36) farklı şekilde olacaktır.
H=4 ise sıralama 2!*3*2*1(=12) farklı şekilde gerçekleşecektir.

Öyleyse toplam farklı durum sayısı

120+72+36+12=240

farklı şekilde gerçekleşir.

3. Haktan'ın İhsan ile Caner arasında yer alması iki şekilde gerçekleşebilir: ya İ, H ve C'nin önünde olacaktır ya da C, H ve İ'nin önünde olacaktır. Yukarıdaki soruda bulduk ki İ, 240 farklı şekilde H ve C'nin önünde olabilir. Ancak bu 240 dizilimin yarısında C, H'nin önünde olur ki bu istenmeyen bir durumdur (bu durumda H, İ ile C arasında olmaz). Öyleyse İ-H-C dizilimi 120 farklı şeklide gerçekleşecektir. Benzer olarak C-H-İ dizilimi de 120 farklı şekilde gerçekleşir. Öyleyse istenen şey 120+120=240 farklı şekilde yapılabilir.

Umarım faydası olmuştur...

Hocam çözümünüz için çok teşekkur ederim çok faydası oldu teoremlerden cok bu tarz çozumler hosuma gıdıyor.
Benim amacım Teorem ve mantıgı aynı anda oturtmak daha zor bı soruda mesala

10 kişilik bir maç kuyruğunda Haktan hem Caner'in hem İhsan'ın hem Selin'in hem Erdi'nin hem Temel'in önunde oldugu durum nedir ?


şeklınde olsayd çok ugrasırdık ama cozumunuz cok guzel

ben dershane yıllarımda bı matematık hocası resımdekı 1. soru ıcın boyle cozum yapmıstı

6!.2!/3!

daha sonra bu cozumu su sekılde yorumlamıstım

6! tum kısılerın yer değiştirme sayısı

2! ise İ ve C yer değiştirme sayısı

böldüğümüz 3! ise H İ C 'in yer değiştirme sayısı

yurkardaki 10 kişilik ornekde de cozum boyle olucakdı sanırsam


H C İ S E T bunlardan H onunde olucagı ıcın gerı kalanlar 4! şeklınde yer değiştirirler 5 kişi olduklarından 4!/5! şeklınde

10!.4!/5!

vee daha sonra dusundum kı boldugumuz 5! ne işe yarıyor neden boluyoruz ?

sadece 4!/5! bıze neyı ıfade edıyor H C İ S E T durumunda


Teşekkürler

Bu tür sorulara çok farklı yaklaşımlarla çözümler getirilebilir. Teoremin ispatı için benim şu anda aklıma gelen inversiyon yaklaşımı. Yazması oldukça uzun olduğu için (en azından şimdilik) bunu yazmayacağım. Ama şöyle bir ipucu vereyim, ki bu fikri üçüncü sorunun çözümünde ispatsız kullandım: Belli sayıda nesnenin tüm permütasyonlarının yarısında a elemanı b elemanının önünde, diğer yarısında ise b elemanı a elemanının önünde yer alır.

Dikkat edersen dershanedeki hocanın yaptığı çözümün teoremin aynısı olduğunu görürsün: n=6 ve r=2 için

6!/(2+1)=6!/3=(6!*2!)/(3*2!)=6!*2!/3!

Senin yorumlama şeklini de düşününce sadece yazım/hatırlama kolaylığı gibi geldi bana, öğrenciler açısından. Dolayısıyla sorduğun karışık soruda da n=10 ve r=5 olduğu için çözüm

10!/6 -veya- 10!*5!/6!=604800

olacaktır.

dizilimleri üzerinde koşul olan r+1 tanesi için kartlar boş kalmak üzere bu elemanların hepsini birer karta yazalım. elimizde r+1 tanesi temiz (aynı) toplam n tane kart vardır.

permutasyonların sayısı = n!/(r+1)! olur.

şimdi her dizilimdeki yazısız kartlara odaklanalım. ilkinin üzerine a_p yazmmız sorunun koşulunun bir gereğidir. kalan r tanesine ise r eleman r! şekilde yazılabilir öyleyse soruda belirtilen kısıtlamaya uygun dizilimlerin sayısı
=(n!/(r+1)!).r!=n!/(r+1) olur.

EVet hocam bende yorumlama şeklımı merak edıyordum demekkı sorudakı mantık ıle alakası yokmus

Teşekkürler Hocam

Buraya da yazayım ha Kicus.
1:
H, 1 yere ; H
İ, 1 yere; H_İ_ (2 yer boş)
C, 2 yere; _H_C_İ_ (4 yer boş)
4., 4 yere; _4._ H_C_İ_ (5 yer boş)
5., 5 yere; _5._4._ H_C_İ_ (6 yer boş)
6., 6 yere.
Çarparak sayarsak; 1.1.2.4.5.6=240
2: Aynı mantıkla;
H, 1 yere,
İ, 2 yere,
C, 1 yere,
4., 4 yere,
5., 5 yere,
6., 6 yere ----> 1.2.1.4.5.6=240

10 kişilik maç kuruğu sorun ise şöyle:
İlk çözüm:
H, 1 yere --> (ön)H_
C, 1 yere --> H_C_
İ, 2 yere --> H_C_İ_
S, 3 yere --> H_C_İ_S_
E, 4 yere --> H_C_İ_S_E_
T, 5 yere --> _H_C_İ_S_E_T_
7., 7 yere --> _H_C_İ_S_E_T_7._
8., 8 yere --> _H_C_İ_S_E_T_7._8._
9., 9 yere --> _H_C_İ_S_E_T_7._8._9._
10., 10 yere --> HCİSET(7.)(8.)(9.)(10.) v.s. formlar.
Çarparsak;
1.1.2.3.4.5.7.8.9.10 = 10!.5!/6! =10!/6

2. çözüm:
n=10 ve r=5 dir. {C,S,İ,E,T}
P(n,n-r-1).r! = n!/(r+1)
P(10,10-5-1).5! = 10!/6
P(10,4)5! = 10!/6
10.9.8.7.5!= 10!/6

3. çözüm:
C(10,4).4!.5! = (10.9.8.7.6!/6!.4!).4!.5! = 10!.5!/6!=10!/6

Bahsettiğin özelliğin teorem hâli ve tarafımca yapılmış ispatı: