tamam hocam 5 dakika çizip ekliyorum

https://img211.imageshack.us/img211/4300/matdiag.jpg

kolaylık olsun diye gölün yarıçapına k dedik ve kurt k hızında adamsa 1 hızında dedik
içerdeki ufak daire adamın üstün olduğu bölgedir ve içinde istediği noktada bulunbilir çünkü çembrin sınırındaki hızı kurtla aynıdır (açısal hız) içindeyse kurttan hızlıdır ve istediği hareketi gerçekleştirip kurttan önce istediği açısal pozisyona varabilir. bu çemberin dışındaysa kurt her zaman adamdan hızlıdır adam ne yaparsa yapsın kurtla mesafesini açamaz.

adamımız kurtu B noktasına kendisini de A noktasına ya da benzeri 180º farkla konumlanmış 2 noktaya getirebilir , bu anda artık adam kıyıya kendi avantajının bittiğien yakın noktada kurtsa kendisinin kıyadaki en yakın noktasına en uzak noktadadır.
|AC|=k-1
BC yayı = ∏k olduğundan ve kurt bunu k hızıyla alacağından
adamın kaçabilmesi için k-1<∏ ya da k<∏+1~4,14 olmalıdır

Ben böyle anlamadım soruyu. Adam merkezden uzaklaşmaya başladığı anda hareket yönüne göre hemen kurdun harekete geçeceğini düşündüm. Ta ilk çözümümüzde, paradoks12 öğretmenimizin çözdüğü ve benim de onay verdiği çözüm de bu bağlamdaydı. Orada cevap pi çıkıyordu, ama siz burada adam merkezden 1 birim uzaklaşana kadar kurdun hiç hareket etmediğini kabul ediyorsunuz. O yüzden cevap pi+1 çıkıyor. O zaman şu sorulmaz mı? adam bir birim uzaklaşana kadar kurt hareket etmiyorsa 2 birimde de hareket etmeyebilir. Bu tarafı çelişkili geldi bana, ya da ben bu çözümden yine bir şey anlamadım.

kurt hareket ediyor hocam nereden çıkardınız adam 1 birim uzaklaşana kadar hareketsiz beklediğini. adam mesela 0,5 birim uzağa gitsin bu sırada kurt da istediği dairesel hareketi yapsın o an adama bulunacağı en kısa mesafe (k-0,5) birim olur (aralarında 0º açısal mesafe varken)
bu noktada adam dairesel bir hareket yapmaya başlasa kurttan 2 kat hızlı olacağından açıyı 180º ye getirebilir. yani kurtla ters tarafa gidebilir. kurt bunu engelleyemez taa ki adam bu dediğimiz ilk uzaklaşmayı 1 birim yapanakadar bu noktadan snra kurt açısal larak istediğini yapmaya başlayacaktır.

Valla bu haliyle beni aştı soru.

hocam bu çözüm mantığını anladım, ama bende daha önceden yazdıklarınızdan bişeyler yapmaya çalıştım, ama işin içinden çıkamadım, şimdi bu özel bir durum yarı çapların farklı kurdun hızının yarı çaptan farklı olduğu durumlar için nasıl bir çözüm yapabiliriz. örneğin gölün yarı çapı r kurdun hızı k ve adamın hızı a olursa; bu kadar bilinmeyenli olunca ben toparlayamadım bir türlü

gölün yarıçapının hiçbir önemi yok hocam sonuçta hareketi bir kasete kaydetmişiz de gölün yarıçapına göre bir hızda oynatıyormuşuz gibi olur.

burada önemli olan adamın ve kurtun hızları daha doğrusu hızlarının oranı. birine k diğerine a derseniz kurtun hızına k=az dersiniz bu sefer z katı hızında olur. gölün yarıçapı da R olsun
merkezdeki ufak dairenin yarıçapı aR/az=R/z olur , ikisimerkeze göre zıt taraflardayken de adamın kıyıya uzaklığı R-R/z , kurtun adamın kıyadan çıkacağı noktaya uzaklığı ∏R olur
∏R lik yolu az hızıyla aldığı süre R-R/z lik yolu a hızıyla aldığı süreden uzunsa adam kurtulur

(R-R/z)/a<∏R/az → 1-1/z<∏/z → z-1<∏ → z<∏+1 bulunur.

teşekkürler hocam anladım, açıkçası ben kendi başıma bir türlü toparlayamadım, ama siz ve aerturk39 hocamızın yazdıklarından yola çıkarak ancak anlayabildim, ve başlarda yazılanaları anlamaya çalışmak bile beni baya yordu, ama olsun şuanda sorun yok:)

adamın hızı a olsun, kurdun hızı ise k olsun;

adamın açısal hızının kurdun açısal hızına eşit olduğu çemberin yarı çapı x ve gölün yarı çapıda x+y olsun;
(adam x yarı çaplı çembere vardıktan sonra kurt ve adam aynı anda harekete başlarsa ikiside kendi çemberleri üzerinde bir tam turu aynı anda tamamlar)
ama bu çembere varmadan, yani adam x den daha kısa yarı çaplı tüm çemberlerde bir tam turu kurttan daha kısa sürede tamamlar yani, yani kurdu kendisi ile istenen açısal konuma getirebilir.

şimdi işlemler başlasın;
bir tam turu aynı anda başlayıp aynı anda tamamladıkları konumdan yolaçıkacağız.
adamın aldığı yol=2pi.x=a.t
kurdun aldığı yol=2pi.(x+y)=k.t
taraf tarafa oranlanırsa;
a/k=x/x+y olur.
yani adamın hızı x ve kurdun hızı ise x+y kabul edilebilir.

burdan sonra adamın gitmesi gereken yol y kalmıştır. kurt ise kendi çemberinde yarım tur atmak zorundadır.

ve adam kurdu istediği konuma getirdikten sonra harekete geçecek bu süre t olsun; tam kıyıya vardığı anda kurdun ağzına düşecektir. (önce tam aynı anda aynı yere vardıkları duruma göre çözüm yapıp daha sonra adamın hızını birazcıık arttıracağız ki kaçabilsin)

s=v.t formülünden;
adam için;
y=x.t
kurt için;
2.pi.(x+y)/2=(x+y).t
burdan t=pi çıkar.

y=x.t yani y=x.pi

buna göre baştaki kabulümüzü tekrar gözden geçirirsek;
a=x
k=x+y kabul etmiştik,
a=x ve k=x+x.pi
yani adamın hızı x olursa; kurdun hızı x.(1+pi) olur. bu hızlarla adama kıyıya varınca kaçak için fırsat bulamayacaktır. çünkü tam o anda kurta oraya varacaktır.

yani kurdun hızının adamın hızının (1+pi) katından birazcık az olması gerekir

Anladığım kadarıyla burada kurdun bulunduğu nokta, adamın bulunduğu nokta ve çemberin merkezinin her zaman doğrusal olduğu kabul edilmiş. Kurdun, adamın bulunduğu noktayı takip etmesi demek, kurdun, kendisi, adamın bulunduğu nokta ve merkezi doğrusal yapması anlamına mı geliyor? Benim anladığım, kurdun adamın bulunduğu noktayı takip ederken bir taraftan da ona yaklaşmaya çalışması ve hareketlerini ona göre ayarlaması gerekir. Yani bunun için doğrusallıktan çıkması gerekir. O zaman çözüm metodu değişmesi gerekir diye düşünüyorum.

sorudan bağımsız şöyle düşünün, hızı 3v ve v olan iki adam düşünün bunlar aynı çember üzerinde yarışa başlarsa, tabiki 3v hızı olan bir tam turu daha çabuk atacaktır.

ama

hızlar gene 3v ve v olsun;
3v hızı olanın çemberi 100r yarı çaplı, v hızı olanın çemberi ise r olsun; bu kez hangisi tam turu daha erken tamamlar? tabi yavaş olan

şimdi soruya geri dönersek genel mantık olarak; adam önce doğrusal olarak biraz ilerler ( bu ilerleme miktarı daha sonra kullanacağımız çemberin yarı çapı olacak). kurdun hızı kendisinden bir miktar fazla olsa bile uygun konuma gelip çembersel bir harekete başlarsa;
kurt kendi çemberinde hareket edecek ve adamda kendi çemberinde hareket edecek, ama ikiside aynı anda 1 tam turu tamamlayacaktır. işte bu mantıkla önce bu çemberler için adamın ve kurdun hızlarının oranı hesaplanıyor, sonrada adamın hızını azıcık artırarak kurda fark atması sağlanmaya çalışılıyor. ( yada çemberi biraz küçülterekte aynı amaca ulaşabiliriz)