İndirgenmiş Diskriminant (İSPAT)

Hani bir denklemin köklerinin tabi 2.dereceden bir denklemin köklerinin reel sayımı sanal mı olduğunu anlamaya çalışıyorduk ya bazen katsayılar o kadar büyük olurki insan Δ'yı bulmaya resmen korkar.

Katsayıları oldukça büyuk olan denklemlerimizde indirgenmiş diskriminant mantığını kullanabiliriz.!

Δ = b²-4ac idi.Peki size bir soru , Delta pozitifse Δ/4 'te pozitif , yada Δ negatif ise Δ/4 de negatif değil midir ? Yada en basitinden Δ=0 ise Δ/4'te 0 olacaktır.

Peki neden 4'e bölüyoruz , içlerinizden birileri o halde 4 e bölmek yerine 2 ye de bölebiliriz diyebilirler.Yanılıyorsunuz burada 4 ' e bölmemizin nedenini ispatlayalım.

x₁,₂=

-b±√Δ

2a

Şimdi bu ifadenin paydasını 2 ile bölüp , payınıda 2 ile bölelim.İfadede bir değişiklik olmiyacaktır haliyle.


Şimdi bu işlemleri yapalım.

x₁,₂=

-b±√Δ

2a

x₁,₂=

(-b±√Δ)/2

2a/2

x₁,₂=

-b/2±√Δ/2

a

x₁,₂=

-b/2±√Δ/4

a

Haline gelir.İşte burada Δ/4 ifadesine Δ' yani indirgenmiş diskriminant diyip.Yukarıdaki ispatlanmış bağıntıyı kullarak işlem kolaylığı sağlıyabiliriz.

Böylece Mutlu sona ulaşmış oluyoruz.Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

__________________________________________
Delta = b²-4ac
Delta/4 = b²-4ac/4
Delta' = b²/4 - ac = (b')²-ac

Örnek 1 :

5x²-42x+85 denkleminin indirgenmiş diskriminantı kaçtır ?

Çözüm

Yukarıda ispatladığımız formülü kullanacağız.

b/2 = b' olmak üzere , Δ' = (b')²-ac olduğunu bulmuştuk hemencecik. O halde ;

Δ=(b')²-ac = 21²-5.85 = 441-425 = 16 olur.

Örnek 2 :

40x²-34x+7=0 denkleminin büyük kökün nedir ?

Çözüm

Bilmiş arkadaşlarımız uzun uzun Δ'sını bulmaya çalışsınlar.Tabi , aralarından hangileri 34'ün karesini şak! diye bulabilir.Biz hemen 17'nin karesiyle yola çıkalım.Önümüz açık.

b' =b/2 = -17 ve Δ' = (b')²-ac = (-17)²-40.7 = 9 olduğundan

X₁.₂=

-b'±√Δ'

a

=

17±√9

40

olur buradan

x₁=

7

20

ve Diğer kökümüzde 1/2 olur.Büyük olanı bulun artık.

Örnek 3

7x²+26x+24 =0 denkleminin tam sayı olmayan kökü kaçtır ?

Çözüm

Δ = b²-4ac formülünü kullanalım diyelim ki , peki zor soru kaçınız 26'nın karesini hemen söyleyebilirsiniz?

O halde bilenler ve iddialaşanlar uzun uzun kullansınlar ben daha kısa bir yol kullandım.

b' = b/2 = 13

Δ' = (b')²-ac = 13²-7.24 = 1

Olur ki ;

x₁.₂ =

-b'±√Δ'

a

=

-13±1

7

Buradan -2 ve -12/7 olur zor soruyu siz bulun hangisi tam sayı değil?

Çok teşekkürler Savaş. Eline sağlık

Admin'den alıntı:

Çok teşekkürler Savaş. Eline sağlık

Rica ederim Öğretmenim.:) Boş zamanım oldukça bu bilgileri paylaşmaya çalışıyorum , daha pek çok ispat var hepsini paylaşacağım zamanla...

umulur ki b tek iken ikiye bölmeye çalışan olmaz : )

senfoni344'den alıntı:

umulur ki b tek iken ikiye bölmeye çalışan olmaz : )

Evet , olmaz herhalde :) Bu bilgiyide dip not diye düşelim.

Bu kadar büyük katsayılı denklemlerle sınavda karşılaşmayacağımız kesin.
Ancak sınav dışı çalışma yapanlar için güzel bir özellik. :)

duygu95'den alıntı:

Bu kadar büyük katsayılı denklemlerle sınavda karşılaşmayacağımız kesin.
Ancak sınav dışı çalışma yapanlar için güzel bir özellik. :)

Öyle mi dersin ? Bir deneme sınavında sayıları uçuk bir halde sormuşlardı.Belli olmuyor ne sorcakları :)