İndirgenmiş Diskriminant (İSPAT)

Hani bir denklemin köklerinin tabi 2.dereceden bir denklemin köklerinin reel sayımı sanal mı olduğunu anlamaya çalışıyorduk ya bazen katsayılar o kadar büyük olurki insan Δ'yı bulmaya resmen korkar.

Katsayıları oldukça büyuk olan denklemlerimizde indirgenmiş diskriminant mantığını kullanabiliriz.!

Δ = b²-4ac idi.Peki size bir soru , Delta pozitifse Δ/4 'te pozitif , yada Δ negatif ise Δ/4 de negatif değil midir ? Yada en basitinden Δ=0 ise Δ/4'te 0 olacaktır.

Peki neden 4'e bölüyoruz , içlerinizden birileri o halde 4 e bölmek yerine 2 ye de bölebiliriz diyebilirler.Yanılıyorsunuz burada 4 ' e bölmemizin nedenini ispatlayalım.

x₁,₂=

-b±√Δ

2a

Şimdi bu ifadenin paydasını 2 ile bölüp , payınıda 2 ile bölelim.İfadede bir değişiklik olmiyacaktır haliyle.


Şimdi bu işlemleri yapalım.

x₁,₂=

-b±√Δ

2a

x₁,₂=

(-b±√Δ)/2

2a/2

x₁,₂=

-b/2±√Δ/2

a

x₁,₂=

-b/2±√Δ/4

a

Haline gelir.İşte burada Δ/4 ifadesine Δ' yani indirgenmiş diskriminant diyip.Yukarıdaki ispatlanmış bağıntıyı kullarak işlem kolaylığı sağlıyabiliriz.

Böylece Mutlu sona ulaşmış oluyoruz.Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

__________________________________________
Delta = b²-4ac
Delta/4 = b²-4ac/4
Delta' = b²/4 - ac = (b')²-ac

Örnek 1 :

5x²-42x+85 denkleminin indirgenmiş diskriminantı kaçtır ?

Çözüm

Yukarıda ispatladığımız formülü kullanacağız.

b/2 = b' olmak üzere , Δ' = (b')²-ac olduğunu bulmuştuk hemencecik. O halde ;

Δ=(b')²-ac = 21²-5.85 = 441-425 = 16 olur.

Örnek 2 :

40x²-34x+7=0 denkleminin büyük kökün nedir ?

Çözüm

Bilmiş arkadaşlarımız uzun uzun Δ'sını bulmaya çalışsınlar.Tabi , aralarından hangileri 34'ün karesini şak! diye bulabilir.Biz hemen 17'nin karesiyle yola çıkalım.Önümüz açık.

b' =b/2 = -17 ve Δ' = (b')²-ac = (-17)²-40.7 = 9 olduğundan

X₁.₂=

-b'±√Δ'

a

=

17±√9

40

olur buradan

x₁=

7

20

ve Diğer kökümüzde 1/2 olur.Büyük olanı bulun artık.

Örnek 3

7x²+26x+24 =0 denkleminin tam sayı olmayan kökü kaçtır ?

Çözüm

Δ = b²-4ac formülünü kullanalım diyelim ki , peki zor soru kaçınız 26'nın karesini hemen söyleyebilirsiniz?

O halde bilenler ve iddialaşanlar uzun uzun kullansınlar ben daha kısa bir yol kullandım.

b' = b/2 = 13

Δ' = (b')²-ac = 13²-7.24 = 1

Olur ki ;

x₁.₂ =

-b'±√Δ'

a

=

-13±1

7

Buradan -2 ve -12/7 olur zor soruyu siz bulun hangisi tam sayı değil?

Çok teşekkürler Savaş. Eline sağlık

Admin'den alıntı:

Çok teşekkürler Savaş. Eline sağlık

Rica ederim Öğretmenim.:) Boş zamanım oldukça bu bilgileri paylaşmaya çalışıyorum , daha pek çok ispat var hepsini paylaşacağım zamanla...

umulur ki b tek iken ikiye bölmeye çalışan olmaz : )

senfoni344'den alıntı:

umulur ki b tek iken ikiye bölmeye çalışan olmaz : )

Evet , olmaz herhalde :) Bu bilgiyide dip not diye düşelim.

Bu kadar büyük katsayılı denklemlerle sınavda karşılaşmayacağımız kesin.
Ancak sınav dışı çalışma yapanlar için güzel bir özellik. :)

duygu95'den alıntı:

Bu kadar büyük katsayılı denklemlerle sınavda karşılaşmayacağımız kesin.
Ancak sınav dışı çalışma yapanlar için güzel bir özellik. :)

Öyle mi dersin ? Bir deneme sınavında sayıları uçuk bir halde sormuşlardı.Belli olmuyor ne sorcakları :)

svsmumcu26'den alıntı:

Öyle mi dersin ? Bir deneme sınavında sayıları uçuk bir halde sormuşlardı.Belli olmuyor ne sorcakları :)

Denemelerde sorabilirler. Ancak Ösym böyle bir soru sormaz, (yani YGS de 1dk'yı, LYS de 1.5 dk yı aşacak soru sormaz.) İndirgenmiş diskriminant müfredatta olmadığına göre, 1.5 dk dan önce çözülemez bence.

Ben de sorulacağını sanmıyorum. Ancak özellik güzel ve kullanışlı. :)

Bildiğim kadarıyla Caucy eşitsizliği filanda müfredatta yok ama çok işe yarıyor.Bu da o hesap :)

Kesinlikle.
Koşi'yi forumdan öğrendim doğrusu. :D okulda hiç kimseden duymamıştım.
Arada bu tarz teoremleri paylaşırsan bizleri memnun edersin Savaş. :D