Olasılık Nedir? Bağımsız Olay Nedir? Koşullu Olasılık Nedir? Olasılık Formülü

Bir deneyde olanaklı sonuçların kümesine örnek uzay, örnek uzayın her alt kümesine olay denir.

E örnek uzayı için boş kümeye olanaksız olay(imkansız olay), E kümesine kesin olay denir. E örnek uzayının A ve B gibi iki olayı için,
A ∩ B = 0 ise, A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.

Olasılık Nedir?
Bir E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi T ve değer kümesi R={x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} olan P fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları gerçekliyorsa buna olasılık fonksiyonu denir. A ∈ T ise p(A) reel sayısına da A olayının olasılığı denir.

1) ∀A ∈ T için 0 ≤ p(A) ≤ 1 dir.
2) p(E)=1 dir.
3) A, B ∈ T ve A ∩ B = 0 ise p(A ∪ B)=p(A)+p(B) dir.

Özellikler

1) P(0)=0 dır.
2) A ⊂ B ise p(A) ≤ p(B)
3) p(A)=1 - p(A) (A olayının olmama olasılığı)
4) p(A ∪ B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B) dir.
5) E={x₁,x₂,x₃} örnek uzayları için:
p(x₁)+p(x₂)+p(x₃)=1 dir

Eş Olumlu Örnek Uzay Nedir?

Olayların gerçekleşme olasılığı eşit olan örnek uzaya denir.
E eş olumlu örnek uzay ve A ⊂ E bir olay ise, A nın olasılığı;


P(A) = (A nın eleman sayısı) / (E nin eleman sayısı)

Bağımsız Olay Nedir?

E örnek uzayı A ⊂ E, B ⊂ E ve p(A ∩ B)=p(A).p(B) ise, A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir.
[p(A) ≠ 0, p(B) ≠ 0]

Koşullu Olasılık Nedir?

Bir E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. A olayının olasılığı B olayına bağlı ise, A olayının olasılığına, A olayının B koşullu olasılığı denir ve bu olasılık;



ile gösterilir.Örnek uzay eş olumlu ise;



olur.

ÖRNEK 1:

4 kız, 3 erkekten oluşan bir arkadaş grubundan rastgele 2 kişi seçiliyor.

a) Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır ?

b) A olayı seçilen iki kişinin de erkek olması ise A nın eleman sayısı kaçtır ?

c) B olayı seçilen iki kişinin de kız olması ise B'nin eleman sayısı kaçtır ?

d) C olayı seçilen iki kişiden birinin kız, diğerinin erkek olması ise C'nin eleman sayısı kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

a) Toplam 7 kişide 2'si C(7,2)=7.6/2=21 şekilde seçilir. s(E)=21'dir

b) 3 erkekten ikisi C(3,2)=3 şeklinde seçilir. s(A)=3

c) 4 kızdan ikisi C(4,2)=6 şeklinde seçilir. s(B)=6

d) 3 erkekten biri C(3,1)=3, 4 kızdan biri C(4,1)=4

şeklinde seçilir. Çarpım yoluyla saymaya göre 4.3=12=s(C)'dir.

ÖRNEK 2:

Üç koşucunun katıldığı bir yarışta A,B ve C koşucukarından A'nın yarışı kazanma olasılığı B'nin 3 katı,B'nin yarışı kazanma olasılığı ise C'nin yarsıdır.

Buna göre A nın kazanma olasılığı kaçtır ?

ÇÖZÜM 2:

P(A): A'nın yarışı kazanma olasılığı
P(B): B'nin yarışı kazanma olasılığı
P(C): C'nin yarışı kazanma olasılığı

P(A) P(B) P(C)

 3x   x    2x

P(A)+P(B)+P(C)=1

3x+x+2x=1

6x=1

x=1/6

P(A)=3x=>P(A)=3.1/6=1/2 bulunur.

Koşullu Olasılık

ÖRNEK 3:

Bir zar atılması deneyinde zarın tek sayı geldiği bilindiğine göre zarın asal gelme olasılığı kaçtır ?

ÇÖZÜM 3:

E={1,2,3,4,5,6}'dır.

Zarın tek geldiği bilindiğinden B tek gelme olayı olur.

A sayının asal olma olayı ise

A={2,3,5}
B={1,3,5}

A∩B={3,5}