Güzel sayı

Bir n doğal sayısı için
n=a+b+c+... ve
(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+...=1

koşulunu sağlayan a,b,c,d,e,... doğal sayıları bulunabiliyorsa n doğal sayısına güzel sayı diyelim.

2012 den büyük tüm güzel sayıları belirleyiniz.


not: sorunun orijinali biraz farklı yine de böyle olsun istedim (bu hali biraz daha zor diyebilirim). istenirse orijinalini de yazabilirim ama isteneceğini sanmıyorum sonuçta sorularla ilgilenen pek olmuyor

soruya fazla geç olmadan bir seçenek ekleyelim;

2012 güzel sayı mıdır?

'aşıyor' hocam aşıyor.

aşmaz aşmaz , çözümde belki de
ortaokuldan sonra öğrendiğiniz bişey kullanılmıyor bile.

yardımı olacaksa bikaç örnek vereyim
tüm tamkareler güzel sayıdır.
tamkare olmayan güzel sayılar da vardır mesela
6+6+6+7+7+7+14=53 ya da
2+3+12+12=29 güzel sayılardır.



uyarı:örneklere bakıp asallık kafanızı karıştırmasın sadece tesadüf.

tümçözümler için değil ama bazıları için ipucu:

(1/2)+(1/3)+(1/6)=1 buradan 11 sayısı 11=2+3+6 güzel sayıymış
şöyle devam edebiliriz

(1/2)+(1/3)+(1/6).1=1
(1/2)+(1/3)+(1/6).[(1/2)+(1/3)+(1/6)]=1
(1/2)+(1/3)+(1/12)+(1/18)+(1/36)=1 buradan 71 =2+3+12+18+36 güzel sayıymış

2. ipucu: (1/2)+(1/2)=1 aynışekilde güzel sayılar bulunur
4 güzel sayı 4=2+2

(1/2)+(1/2).1
(1/2)+(1/2).[(1/2)+(1/2)]=1
(1/2)+(1/4)+(1/4)=1 buradan 10=2+4+4 güzel sayı

3.ipucu:
(1/2)+(1/2).[(1/2)+(1/3)+(1/6)]=1
(1/2)+(1/4)+(1/6)+(1/12)=1 buradan 24=2+4+6+12 güzel sayı

tam kareler için
x tane (1/x) kesrinin toplamı [(1/x)+(1/x)+...+(1/x)]=x/x=1
x+x+...+x=x²

soruyu çözdüyseniz gerek yok ama çözmediyseniz sorunun orijinalini yazabilirim. formatı çözümü çok açık ettiğinden bu kendimce çözümü biraz olsun gizlediğim bu halini yazmıştım.

orjinalini yazabilirsiniz sorun yok . ben bu haline çözüm yaptım kendimce

bence uygun bi vakitte siz çözümünüzü yazın çünkü forumdaki arkadaşların üniversite sınavı, test kitapları vs derken bu tür boş sorulara uğraşacak zamanları kalmıyor. yalnız trigonometride de amma formül var arkadaşlara kızamıyorum da.

soruyla uğraşırken(3 gün) keşfettiğim kısımları yazayım.
öcelikle n sayısı güzel sayı ise n=a₁+a₂+...+a_k şeklinde a₁,a₂,...,a_k pozitif tam sayıları vardır ve bu sayıların tersleri toplamı 1 olur yani (1/a₁)+(1/a₂)+...+(1/a_k)=1

şimdi bu n sayısının 2 katıgüzel sayı olmaz çünkü 2.n=2a₁+2a₂+...+2a_k ve sağ taraftaki 2a₁,2a₂,...,2a_k sayılarının tersleri toplamı 1 yapmaz (1/2) yapar... gösterelim
(1/2a₁)+(1/2a₂)+...+(1/2a_k)=(1/2)[(1/a₁)+(1/a₂)+...+(1/a_k)]=1/2

o halde sağ tarafın toplamını 1 yapacak şekilde heriki tarafa 1/2 sayısı eklenirse bu oluşacak yeni sayı yine güzel sayı olur şu şekilde
2n=2a₁+2a₂+...+2a_k
(1/2a₁)+(1/2a₂)+...+(1/2a_k)=1/2
(1/2a₁)+(1/2a₂)+...+(1/2a_k)+(1/2)=(1/2)+(1/2)
sol tarafın 2n+2 sayısı olduğuna sağ tarafın 1 olduğuna dikkat edelim demekki
eğer n güzel sayı ise (2n+2) sayısıda güzel sayı olur...............................

tabiki bu her iki tarafa 1/2 eklemek işi sadece 1/2 ile değil örneğin aynı işi görecek olan (1/4)+(1/4) yazmaklada olur(çünkü 1/4+1/4=1/2) o halde yeni bir güzel sayı bulduk demekki
n güzel sayı ise (2n+8) sayısıda güzel sayı olur...........................................

her iki tarafa aynı işi görecek (1/3)+(1/6)yazmaklada (çünkü 1/3+1/6=1/2) güzel sayı oluşturulur demekki
n güzel sayı ise (2n+9) sayısıda güzel sayı olur...........................................

bu 1/2 ekleme olayını istediğimiz kadar farklı şekilde çoğaltıp yeni formda güzel sayılar bulabiliriz yukarıda yaptıklarımıza biraz örnek yazalım
4 güzel sayı idi o halde 2n+8 den 2.4+8=16 güzel sayıdır
29 güzel sayı idi o halde 2n+2 den 2.29+2=60 güzel sayıdır 2n+9 dan 2.29+9=67 güzel sayıdır

bu işleri ters çevirerek 2012 sayısının güzel sayı olduğunu gösterebiliriz
2012 güzel sayı olsun o halde 2n+2=2012 olacak n güzel sayısı vardır buradan n=1005
1005 güzel sayı ise 2n+9=1005 olacak şekilde n güzel sayısı vardır buradan n=498
498 güzel sayı ise 2n+8=498 ................................................... buradan n=245
245 güzel sayı ise 2n+9=245 .................................................... buradan n=118
118 güzel sayı ise 2n+2=118 ..................................................... buradan n=108
108 güzel sayı ise 2n+8=108 ......................................................... buradan n=50
50 güzel sayı ise 2n+2=50 .............................................................buradan n=24
24 güzel sayı ise 2n+2=24 .........................................................buradan n=11
11 =2+3+6 ve(1/2)+(1/3)+(1/6)=1 olduğunu biliyoruz
demekki 11 güzel sayı olduğundan 2012 güzel sayıdır

2012 den büyük tüm güzel sayıların belirlenmesi kısmını size bırakıyorum yoruldum
bu kadar yazıdan sonra birde 2012 den sonraki tüm sayıları yazmak zor geliyor

hocam bikaç ufak eklemeyle daha çözüm tamamlanırmıştı, elinize sağlık.

öncelikle ufak bi düzeltme yapalım, n güzel sayı ise 2n güzel sayı olabilir örnek 10,20,40

2012 büyükleri yazmayalım da şöyle diyelim 30 dan büyük tüm sayılar güzeldir.

sonra sorunun orijinalini yazalım belki soruyu değiştirmem konusunda bana hak verirsiniz,

"33 ile 73 arasındaki (sınırlar dahil) tüm sayılar güzel sayı ise 33 ten büyük tüm sayıların güzel olduğunu gösteriniz"

soru böyle olunca sizin bulduğunuz n güzelse 2n+8 ve 2n+9 in de güzel olmasını kullanınca 33 sayesinde 74 ve 75 in , 34 sayesinde 76 ve 77 nin , ... 73 sayesinde 154 ve 155 in , 74 sayesinde 156 ve 157 nin ... şeklinde 33 ten büyük tüm sayıların güzel olduğu tümevarımla gösterilebiliyor.

yalnız ben de soru üzerinde oldukça zaman harcadım , özellikle de 33,35 ya da 37 ningüzel olduğunu bulmak biraz zamanımı almıştı. şimdi diyeceksiniz soruda bunların güzel olduğu verilmiş siz niye buluyorsunuz.belki farazi bir durumdur, soruyu da değiştirerek soracağım bi de bunlar gerçekte güzel değildir iyot gibi açıkta kalmayalım dedim