Basit eşitsizlik ve Mutlak değer

Soru1'den alıntı:

3 < b < a < 21
olduğuna göre, a/b kesrinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? (20)

Soru2'den alıntı:

1

4

<x<7

1

5

<y<10

olduğuna göre;

x.y

x+y

ifadesinin alabileceği kaçtane tamsayı değeri vardır?

Soru3'den alıntı:

|x| = -x
|-y| = y

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima yanlıştır?

cevap; ( x.y≥y )

Bu sorunun cevabı yanlış mı arkadaşlar? çünkü y ≥ 0 ise ve y'ye 0 değerini verirsek yukarıdaki cevabı sağlamış olmazmı?

Soru4'den alıntı:

|x²-4|-|6-3x|=0
olduğuna göre x in alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?


Bu soruda aşağıdaki çözümde nerede hata yapıyorum;

|(x-2).(x+2)| = |6-3x|
|x-2|.|x+2| = 3. |x-2|
|x+2| = 3

ve buradanda x în alacagı değerler toplamı -4 buluyorum ama cevap -2 nerede hata yapıyorum acba?

Soru5'den alıntı:

|x+3|+|x-2| = 5

olduğuna göre x'in alabileceği kaç farklı değer vardır? (6)

Soru 6'den alıntı:

|2x+3| ≥ |x+4|

eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? (3)

1
Burada sözel anlatmaya çalışayım..a/b kesri muhakkak bileşik kesirdir,a/b≥1 olur..Burada a/b'nin 1 olamayacağı açık,öyleyse en küçük değer 2'dir..
a=21 olsa ve b=3 olsa a/b=21/3=7 olurdu fakat a=21 V b=3 olamayacağı da açık bu yüzden en büyük değeri 6 olabilir..
2+3+4+5+6=20 bulunur..

2
Bu tür sorularda yapılan en büyük hatalardan birisi pay ve paydayı birbirinden bağımsız düşünmektir..
Örnek veriyorum 1/(x+y) ifadesinin aralığını (a,b) bulduk, x.y ifadesinin aralığını da (c,d) bulduk..Buradan her iki aralığı çarpıp aralık bulamayız!
Çünkü bize verilen ifadede aynı x ve y değerlerini kullanıyoruz..Yukarıdaki çözüm kümesinde ise pay için en büyük değeri b,payda için en küçük değeri c referans alıyoruz ki bu da çok nadir eşitsizlikler dışında hiçbir zaman sağlamaz..
Bu sebeple çok büyük değerler bulmamız olasıdır..Sonuç olarak pay ve paydada kullandığımız x ve y'ler aynı x,y'lerdir bu sebeple üsttekine uçuk değerler alırken alttakine miniminnacık değerler almamız çözümü uçuruma sürükler..
Bu yüzden pay ve payda sınırlarını aynı sınırlarda inceleyeceğiz..Başınızı şişirmeden soruya geçeyim :o

En küçük değer için
x.y=1/20 ve x+y=9/20 olduğundan
(x.y)/(x+y)=1/9 bulunur..
En büyük değer için
x.y=70 ve x+y=17 olduğundan
(x.y)/(x+y)=70/17
istenen ifadeye A dersek
1/9<A<70/17 buradan 1,2,3,4 olmak üzere 4 farklı değer alabilir..

3
Bu soruda y'nin 0 olması ya gözden kaçmış ya da -0 diye bir ifadenin olamayacağı düşünülmüş diyeceğim ama o bile sağlamıyor böylece direkt olarak soruyu eleyebiliriz..

4
Aynı soruyu ikinci adımda 3.|x-2| ifadesini sol tarafa atarak ve tüm ifadeyi |x-2| parantezine alarak çözün..|x-2| ifadesinin sadeleşmesinin bizden bir şeyler götüreceği kesin :) Olmazsa açıklama yapılabilir..

5
|x+3|+|x-2| = 5
İçleri sıfır yapan değerler x=-3 ve x=2 de dahil olmak üzere ikisinin arasındaki bütün değerleri alır..
Neden aldığının kanıtı burada
Tek fark sabit bir ifadeye eşit değil,ama sizin sorunuz da çok farklı değil,anlaşılır diye düşünüyorum..

6
|2x+3| ≥ |x+4|
Bu tarz sorularda en kolay yöntem iki tarafın karesini almaktır..Mutlak değer için negatif ve pozitifliğin bir farkı vardır,ama kareleri alındıktan sonra her iki ifade için de negatif olma ihtimâli ortadan kalkacağından basit bir çözüm elde edilebilir..
(2x+3)²≥(x+4)² artık bu çözülecek..

Çözümlerde kafanıza takılan veya eksik bıraktığım çözümlerde devamını getiremediğiniz olursa yardımcı olmaya çalışırım :)

Şu son 6. soruda çarpanlara ayırken işlem hatasımı yapıyorum tam çözemedim ben çözümleyebilirseniz sevinirim, çünkü x'in sınırlayan aralıklarını bulamadım bir türlü.

teşekkürler

6
|2x+3|≥|x+4|
(2x+3)²≥(x+4)²
4x²+12x+9≥x²+8x+16
3x²+4x-7≥0

3x    +7

x    -1

(3x+7)(x-1)≥0
Buradan x₁=-7/3 x₂=1 bulunur..
eşitsizlik tablosu şöyle olur
+++[-7/3]----[1]+++
0'dan büyük aralığı arıyorduk öyleyse (-∞,-7/3]U[1,∞) bulunur..
{...-5,-4,-3} ve {1,2,3,4,5...}
Toplarsak 1+2=3 kalır..