1/a!+1/b!=1/c! olduğuna göre a+b+c toplamı kaç farklı değer alır ?
A)7 B)5 C)3 D)2 E)1
bu soruda a! ve b! için yalnızca 2 değerlerini almamız kafamı karıştıyor gerçekten başka değerler almamız halinde sadeleştirdiğimizde 1/c! gibi bir ifade elde edemiyor muyuz? bunun ispatı nasıldır açıklarsanız çok sevinirim teşekkürler şimdiden
A)7 B)5 C)3 D)2 E)1
bu soruda a! ve b! için yalnızca 2 değerlerini almamız kafamı karıştıyor gerçekten başka değerler almamız halinde sadeleştirdiğimizde 1/c! gibi bir ifade elde edemiyor muyuz? bunun ispatı nasıldır açıklarsanız çok sevinirim teşekkürler şimdiden
a, b,c pozitif sayıları için
1.durum)a=b=c olsun yerıne yazarsak 1=2 buluruz demekki bu durum olmaz
2.durum)a=c olsun yerine yazın 1=0 buluruz (aynısı b=c alırsakta geçerli)
3.durum a=b olsun yerine yazın (2/a!)=(1/c!) Buradan a! / c! =2 bu eşitlik sadece a=2 ve c=1 için saglanır yani a=b=2 ve c=1 çözümdür
4.durum)hepsinin farkli yani a≠b≠c olsun bu durumda c<a<b olması gerek (yada c<b<a sonuç olarak c en küçük olmalı birinin ispatı digerinin ispatınıda halletmiş olur)
a=c+x
b=c+y alalım buradan
b= a+y-x olur bunları yerine yazın
1/(c+x)! + 1/(c+y)! = 1/c!
1/(c+x)(c+x-1)(c+x-2)... (c+1).c! + 1 /(c+y)(c+y-1)... (c+x)(c+x-1)... (c+1).c!=1/c!
her iki tarafta paydadaki c! sadeleşir sağ taraf 1 olur soldaki kesirlerin payları 1 paydaları farklı iki sayı oldu şunun gibi
(1/m)+(1/n)=1 bu sadece m=n=2 icin saglandıgından 4.durumdaki kabulumüzle çelişir
o halde tek çözüm a=b=2 ve c=1
1.durum)a=b=c olsun yerıne yazarsak 1=2 buluruz demekki bu durum olmaz
2.durum)a=c olsun yerine yazın 1=0 buluruz (aynısı b=c alırsakta geçerli)
3.durum a=b olsun yerine yazın (2/a!)=(1/c!) Buradan a! / c! =2 bu eşitlik sadece a=2 ve c=1 için saglanır yani a=b=2 ve c=1 çözümdür
4.durum)hepsinin farkli yani a≠b≠c olsun bu durumda c<a<b olması gerek (yada c<b<a sonuç olarak c en küçük olmalı birinin ispatı digerinin ispatınıda halletmiş olur)
a=c+x
b=c+y alalım buradan
b= a+y-x olur bunları yerine yazın
1/(c+x)! + 1/(c+y)! = 1/c!
1/(c+x)(c+x-1)(c+x-2)... (c+1).c! + 1 /(c+y)(c+y-1)... (c+x)(c+x-1)... (c+1).c!=1/c!
her iki tarafta paydadaki c! sadeleşir sağ taraf 1 olur soldaki kesirlerin payları 1 paydaları farklı iki sayı oldu şunun gibi
(1/m)+(1/n)=1 bu sadece m=n=2 icin saglandıgından 4.durumdaki kabulumüzle çelişir
o halde tek çözüm a=b=2 ve c=1
teşekkürler hocam 4.durumda biraz kafam karışmış olsada az çok birşeyler anladım