eşitsizliklerde her iki tarafın karesini almak

duygu95'den alıntı:

√(x²-x-20)≤x-2

√(x-5).(x+4)≤(x-2)

x≥5 veya x≥-4 olur.

x²-x-20=x²-4x+4

x=8 olur. Ama bu değer alacağı en son değerdir

o halde [5,8] olur. :)

tmm ya çözüm budur heralde sağol duygu
sen de sağol frk
yine de farklı çözümler bilen varsa yazsın:)

mateematik'den alıntı:

tmm ya çözüm budur heralde sağol duygu
sen de sağol frk
yine de farklı çözümler bilen varsa yazsın:)

heralde ye gerek yok ama :) Bir şey değil. :) :)

x'in negatif değeri için eşitsizlik yön değiştirme durumu var. Karelerini aldığımızda eşitsizliğe yön değiştirtmiyoruz.

√(x²-x-20)≤x-2
x²-x-20≤x²-4x+4
3x≤24
x≤8
0≤x²-x-20
0≤(x-5).(x+4)
0≤x için tek kök 5'tir.
_______5_______
--------|++++++
Eşitsizlikte 0'a büyük eşit olması istendiği için;
5≤x
5≤x≤8
Ç.K=[5,8]

İşlem yapmadan yapmaya alışırsanız, daha başka sorularda hata yaparsınız.

1. soru:
√x+6>x için R'de bir çözüm olabilmesi için x+6≥0 --> x≥-6 olmalı. Alt sınırımız bu... Sonra köklü ifade daima pozitif olacağından x'li ifade negatif de olabileceğinden karesini aldığınız da eşitsizlik hem yön değiştirir, hem de değiştirmez şeklinde iki farklı tarzda bakmalısınız:

i) x+6>x² --> (x-3)(x+2)<0 --> +++(-2)----(3)++++
ii)x+6<x² --> (x-3)(x+2)>0 --> +++(-2)----(3)++++

Bu tabloya göre 3 ve daha büyüğü olamayacağından (çünkü x, √(x+6)'dan daha hızlı büyür) [-6,3) bulunur.

2. soru:
√x²-x-20≥0 olacağından sağ taraftaki x-2 de ≥0'dır. O hâlde karesini alınca yön değiştirmez!

R'de çözüm olabilmesi için x²-x-20=(x-5)(x+4)≥0 olmalı. Yani
+++++(-4)------(5)++++++ çizilir. Burada x, -4'den küçük olamaz, o vakit sağ taraf negatif olur (çelişki); -4 ile 5 arası zaten eksi, o zaman kırmızı bölgeye dikkat edilecek.
Sonra her iki tarafın karesini alalım:
x²-x-20≤x²-4x+4 ---> x≤8 ----> O halde [5,8]


Meselâ başka bir soru:
√(x²+2x-15) ≤ x+1 'in çözüm kümesini bulunuz.

Hocam elinize sağlık. Çok teşekkürler.

İşlemler tabiki önemli, işlem yapmanın önemini biliyorum, şu an ki sisteme göre kim bir soruyu daha hızlı (hatasız) çözüyorsa, o kazanıyor. Hız önemli olduğundan kısa yollar arama gereksinimi duyuyoruz ister istemez. Matematiğin özü işlemdir, zaten işlemlerleri yapa yapa pratik yollar üretiriz.

Sizin yazdığınız sorunun cevabı da 3≤x oluyor galiba.

duygu95'den alıntı:

Hocam elinize sağlık. Çok teşekkürler.

İşlemler tabiki önemli, işlem yapmanın önemini biliyorum, şu an ki sisteme göre kim bir soruyu daha hızlı (hatasız) çözüyorsa, o kazanıyor. Hız önemli olduğundan kısa yollar arama gereksinimi duyuyoruz ister istemez. Matematiğin özü işlemdir, zaten işlemlerleri yapa yapa pratik yollar üretiriz.

Sizin yazdığınız sorunun cevabı da 3≤x oluyor galiba.

Ben başka bir şeyden bahsediyorum. Nasıl çözerseniz çözün, o sizin meseleniz zaten. Herkesin aklı bir değil, söylediğin farklı anlaşılabilir.

x≥3 evet... Çözüm?

√(x²+2x-15) ≤ x+1

öncelikle alt sınırı belirleyelim.
x²+2x-15=0
(x+5).(x-3)=0
x=3,x=-5 burada alt sınır 3 olmalı.

yani x≥3 olmalı bu 1.si

Sonra bu ifadelerin karelerini alalım.
(ifade mutlak değerli olarak dışarıya çıkar)

x²+2x-15≤-x²-2x-1 şeklinde eşitlik kullanmamız gerekiyor.

2x²+4x-14≤0

x²+2x-7≤0 olmalı

x²+2x+1-8≤0

(x+1)²≤8

|x+1|≤2√2

-2√2-1≤x≤2√2-1

olduğundan bu aralıkta ifadeyi tanımsız yapan değerler bulunduğundan.
x≥3 aralığını alabiliriz.

Bak bir şey daha öğreteyim:

x²+2x-15=(x+5)(x-3)≥0 olmalı R'deki çözüm için;

+++++(-5)-----(3)+++++ tablosundan kırmızılı alanlara bakılırsa -5 ve -5'den küçük olamayacağı aşikâr, çünkü sağ taraf pozitif olmalı, o hâlde 3 ve yukarısı dikkate alınacak.

Şimdi karelerini alalım:
x²+2x-15≤x²+2x+1 ----> -15≤1 olduğuna göre yön değiştirme imkânı yok ve -15<1 "doğru bir önerme" olduğu için otamatikman x≥3 yazılabilir ve biter.

Hiç başka şeye gerek yok!

Cem1971'den alıntı:

Bak bir şey daha öğreteyim:

x²+2x-15=(x+5)(x-3)≥0 olmalı R'deki çözüm için;

+++++(-5)-----(3)+++++ tablosundan kırmızılı alanlara bakılırsa -5 ve -5'den küçük olamayacağı aşikâr, çünkü sağ taraf pozitif olmalı, o hâlde 3 ve yukarısı dikkate alınacak.

Şimdi karelerini alalım:
x²+2x-15≤x²+2x+1 ----> -15≤1 olduğuna göre yön değiştirme imkânı yok ve -15≤1 "doğru bir önerme" olduğu için otamatikman x≥3 yazılabilir ve biter.

Hiç başka şeye gerek yok!

Teşekkür ederim, değerli bilgileriniz bizlerle paylaştığınız için. Köklü ifadelerle uğraşmaya gerek kalmıyor bu şekilde. Elinize sağlık.

------------------------------