bir eşitsizlikte her iki tarafın karesini aldığımızda eşitsizliğin yönünün değişip değişmeyeceği konusunda kafam karıştı. bir yardım eder misiniz:)

Her durum için geçerli değil. a ve b negatif tam sayılar olmak üzere;
a>b ise karesini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

eşitsizliklerde başka bilgileriniz yoksa hadi iki tarafın da karesini alalım , eşitsizliğin yönünü değiştirelim (ya da aynı bırakalım) diyip yolunuza devam edemezsiniz.
kare aldığınız anda mutlak değerce büyük olan taraf büyük olacaktır ama bir şeyin mutlak değerce büyük olması büyük olmasını gerektirmez (-5<3)

tek kuvvetler için böyle bi durum sözkonusu değil mesela iki tarafın da 7. kuvvetini alabilirsiniz.

bn soruyu sorayım en iyisi:)

√x+6>x eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı

x≥0 için eşitsizliğin köklerini bulalım;
√(x+6)>x
x+6>x²
0>x²-x-6
0>(x-3).(x+2)
x=3,-2
x≥0 şartı olduğu için sadece 3 kökünü alabiliriz.
______3______
--------|++++++
eşitsizliğimizde 0'dan küçük olması istendiği için negatif kısmı alırız.
Yani x<3
√(x+6) ifadesinin reel sayı olması için x≥-6 olması gereklidir.
-6≤x<3
Ç.K=[-6,3)

Alıntı:

---

frk'den alıntı

√x+6>x
√x>x-6
x>x²-12x+36
0>x²-13x+36
0>(x-4)(x-9)
x=4,9
_____4_____9______
+++++|------|++++++
eşitsizlik 0'dan küçük olduğu için (-) olan aralığı alırız
(4,9) diye düşünüyorum.

---

frk soruyu yanlış okudun galiba 6 kökün içinde:)

Alıntı:

---

frk'den alıntı

√x+6>x
√x>x-6
x>x²-12x+36
0>x²-13x+36
0>(x-4)(x-9)
x=4,9
_____4_____9______
+++++|------|++++++
eşitsizlik 0'dan küçük olduğu için (-) olan aralığı alırız
(4,9) diye düşünüyorum.

---

bunu anlamadım neden eşitsizlik yön değiştirmiyor?

[-6,3) mü cevap ?

evet duygu sebebini açıklayarak çözer misin:)

Alıntı:

---

mateematik'den alıntı

evet duygu sebebini açıklayarak çözer misin:)

---

İşlem yapmaya gerek yok ki köklü ifadenin içinin pozitif olması için x≥-6 olmalı. Doğal sayılara doğru gidersek 3'e kadar sayıların sağladığını görürsün ama 3=3 olacağından 3>x≥-6 aralığı oluşur.

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

İşlem yapmaya gerek yok ki köklü ifadenin içinin pozitif olması için x≥-6 olmalı. Doğal sayılara doğru gidersek 3'e kadar sayıların sağladığını görürsün ama 3=3 olacağından 3>x≥-6 aralığı oluşur.

---

evet anladım ama çözümü yok mu her soruda bunu mu yapacağız

Olur mu "çözüme gerek yok" Duygu... Milletin kafasını karıştırırsın bu cümle ile... Matematikte her şeyin bir çözümü vardır; ama kolay ama zor...

Alıntı:

---

mateematik'den alıntı

evet anladım ama çözümü yok mu her soruda bunu mu yapacağız

---

Bu soru bence bu mantık için sorulmuştur. İşlem yapmaktan daha kısa sürer bu çözüm. Elinde buna benzer başka sorularda varsa onları da bu yöntemle çözmeyi dene o zaman kalem oynatmadan bile çözebilirsin.

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

Olur mu "çözüme gerek yok" Duygu... Milletin kafasını karıştırırsın bu cümle ile... Matematikte her şeyin bir çözümü vardır; ama kolay ama zor...

---

çözüme gerek yok demedim ki, işlem yapmaya gerek yok dedim, benim söylediğim yöntem de bir çözüm sayılır.
Bu arada işlem yapmaya gerek yok derken yukarıdaki mesajlardan dolayı bu ifadeyi kullanmıştım.
İşlemli çözümünü bizlerle paylaşırsanız çok sevinirim hocam.

√x²-x-20≤x-2

bi tane daha buldum bundada mı değer verelim bnce bir çözüm yolu var

Ben çözümü düzeltmiştim ama beğenmediniz heralde çözümümü :)

Alıntı:

---

mateematik'den alıntı

√x²-x-20≤x-2

bi tane daha buldum bundada mı değer verelim bnce bir çözüm yolu var

---

aynı yolla bu da sağlıyor 5,6,7,8
bakayım daha zor bir soru görürsem yazarım hocam çözümünüzü bekliyorum:)

√(x²-x-20)≤x-2

√(x-5).(x+4)≤(x-2)

x≥5 veya x≥-4 olur.

x²-x-20=x²-4x+4

x=8 olur. Ama bu değer alacağı en son değerdir

o halde [5,8] olur. :)

Alıntı:

---

frk'den alıntı

Ben çözümü düzeltmiştim ama beğenmediniz heralde çözümümü :)

---

bilemiyorum frk anlamadım bn birşey bu sorudan
neden x i pozitif kabul ettin diğer soruya da baksana aynı yolla oluyor mu

Alıntı:

---

mateematik'den alıntı

aynı yolla bu da sağlıyor 5,6,7,8
bakayım daha zor bir soru görürsem yazarım hocam çözümünüzü bekliyorum:)

---

Yalnız, tek tek 5 den 8'e kadar denemeye gerek yok. soldaki ifadenin karesi sağdaki ifadenin karesine eşit olduğu an max. değerini almıştır daha büyük değer alamaz.

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

√(x²-x-20)≤x-2

√(x-5).(x+4)≤(x-2)

x≥5 veya x≥-4 olur.

x²-x-20=x²-4x+4

x=8 olur. Ama bu değer alacağı en son değerdir

o halde [5,8] olur. :)

---

tmm ya çözüm budur heralde sağol duygu
sen de sağol frk
yine de farklı çözümler bilen varsa yazsın:)

Alıntı:

---

mateematik'den alıntı

tmm ya çözüm budur heralde sağol duygu
sen de sağol frk
yine de farklı çözümler bilen varsa yazsın:)

---

heralde ye gerek yok ama :) Bir şey değil. :) :)

x'in negatif değeri için eşitsizlik yön değiştirme durumu var. Karelerini aldığımızda eşitsizliğe yön değiştirtmiyoruz.

√(x²-x-20)≤x-2
x²-x-20≤x²-4x+4
3x≤24
x≤8
0≤x²-x-20
0≤(x-5).(x+4)
0≤x için tek kök 5'tir.
_______5_______
--------|++++++
Eşitsizlikte 0'a büyük eşit olması istendiği için;
5≤x
5≤x≤8
Ç.K=[5,8]

İşlem yapmadan yapmaya alışırsanız, daha başka sorularda hata yaparsınız.

1. soru:
√x+6>x için R'de bir çözüm olabilmesi için x+6≥0 --> x≥-6 olmalı. Alt sınırımız bu... Sonra köklü ifade daima pozitif olacağından x'li ifade negatif de olabileceğinden karesini aldığınız da eşitsizlik hem yön değiştirir, hem de değiştirmez şeklinde iki farklı tarzda bakmalısınız:

i) x+6>x² --> (x-3)(x+2)<0 --> +++(-2)----(3)++++
ii)x+6<x² --> (x-3)(x+2)>0 --> +++(-2)----(3)++++

Bu tabloya göre 3 ve daha büyüğü olamayacağından (çünkü x, √(x+6)'dan daha hızlı büyür) [-6,3) bulunur.

2. soru:
√x²-x-20≥0 olacağından sağ taraftaki x-2 de ≥0'dır. O hâlde karesini alınca yön değiştirmez!

R'de çözüm olabilmesi için x²-x-20=(x-5)(x+4)≥0 olmalı. Yani
+++++(-4)------(5)++++++ çizilir. Burada x, -4'den küçük olamaz, o vakit sağ taraf negatif olur (çelişki); -4 ile 5 arası zaten eksi, o zaman kırmızı bölgeye dikkat edilecek.
Sonra her iki tarafın karesini alalım:
x²-x-20≤x²-4x+4 ---> x≤8 ----> O halde [5,8]


Meselâ başka bir soru:
√(x²+2x-15) ≤ x+1 'in çözüm kümesini bulunuz.

Hocam elinize sağlık. Çok teşekkürler.

İşlemler tabiki önemli, işlem yapmanın önemini biliyorum, şu an ki sisteme göre kim bir soruyu daha hızlı (hatasız) çözüyorsa, o kazanıyor. Hız önemli olduğundan kısa yollar arama gereksinimi duyuyoruz ister istemez. Matematiğin özü işlemdir, zaten işlemlerleri yapa yapa pratik yollar üretiriz.

Sizin yazdığınız sorunun cevabı da 3≤x oluyor galiba.

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

Hocam elinize sağlık. Çok teşekkürler.

İşlemler tabiki önemli, işlem yapmanın önemini biliyorum, şu an ki sisteme göre kim bir soruyu daha hızlı (hatasız) çözüyorsa, o kazanıyor. Hız önemli olduğundan kısa yollar arama gereksinimi duyuyoruz ister istemez. Matematiğin özü işlemdir, zaten işlemlerleri yapa yapa pratik yollar üretiriz.

Sizin yazdığınız sorunun cevabı da 3≤x oluyor galiba.

---

Ben başka bir şeyden bahsediyorum. Nasıl çözerseniz çözün, o sizin meseleniz zaten. Herkesin aklı bir değil, söylediğin farklı anlaşılabilir.

x≥3 evet... Çözüm?

√(x²+2x-15) ≤ x+1

öncelikle alt sınırı belirleyelim.
x²+2x-15=0
(x+5).(x-3)=0
x=3,x=-5 burada alt sınır 3 olmalı.

yani x≥3 olmalı bu 1.si

Sonra bu ifadelerin karelerini alalım.
(ifade mutlak değerli olarak dışarıya çıkar)

x²+2x-15≤-x²-2x-1 şeklinde eşitlik kullanmamız gerekiyor.

2x²+4x-14≤0

x²+2x-7≤0 olmalı

x²+2x+1-8≤0

(x+1)²≤8

|x+1|≤2√2

-2√2-1≤x≤2√2-1

olduğundan bu aralıkta ifadeyi tanımsız yapan değerler bulunduğundan.
x≥3 aralığını alabiliriz.

Bak bir şey daha öğreteyim:

x²+2x-15=(x+5)(x-3)≥0 olmalı R'deki çözüm için;

+++++(-5)-----(3)+++++ tablosundan kırmızılı alanlara bakılırsa -5 ve -5'den küçük olamayacağı aşikâr, çünkü sağ taraf pozitif olmalı, o hâlde 3 ve yukarısı dikkate alınacak.

Şimdi karelerini alalım:
x²+2x-15≤x²+2x+1 ----> -15≤1 olduğuna göre yön değiştirme imkânı yok ve -15<1 "doğru bir önerme" olduğu için otamatikman x≥3 yazılabilir ve biter.

Hiç başka şeye gerek yok!

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

Bak bir şey daha öğreteyim:

x²+2x-15=(x+5)(x-3)≥0 olmalı R'deki çözüm için;

+++++(-5)-----(3)+++++ tablosundan kırmızılı alanlara bakılırsa -5 ve -5'den küçük olamayacağı aşikâr, çünkü sağ taraf pozitif olmalı, o hâlde 3 ve yukarısı dikkate alınacak.

Şimdi karelerini alalım:
x²+2x-15≤x²+2x+1 ----> -15≤1 olduğuna göre yön değiştirme imkânı yok ve -15≤1 "doğru bir önerme" olduğu için otamatikman x≥3 yazılabilir ve biter.

Hiç başka şeye gerek yok!

---

Teşekkür ederim, değerli bilgileriniz bizlerle paylaştığınız için. Köklü ifadelerle uğraşmaya gerek kalmıyor bu şekilde. Elinize sağlık.

------------------------------

Ne oldu silmişsin, tam yazıyordum...

Sonradan anladım hocam kusura bakmayın. :) Başta (x-5).(x+3)≥0 eşitsizliğini sağlamadığını söylediğinizi düşünmüştüm. Fakat sonra ne demek istediğinizi anladım. Ama ilk soruyu çözümünüz biraz kafamı karıştırdı açıkçası. Onu açıklayabilirseniz sevinirim.

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

İşlem yapmadan yapmaya alışırsanız, daha başka sorularda hata yaparsınız.

1. soru:
√x+6>x için R'de bir çözüm olabilmesi için x+6≥0 --> x≥-6 olmalı. Alt sınırımız bu... Sonra köklü ifade daima pozitif olacağından x'li ifade negatif de olabileceğinden karesini aldığınız da eşitsizlik hem yön değiştirir, hem de değiştirmez şeklinde iki farklı tarzda bakmalısınız:

i) x+6>x² --> (x-3)(x+2)<0 --> +++(-2)----(3)++++
ii)x+6<x² --> (x-3)(x+2)>0 --> +++(-2)----(3)++++

Bu tabloya göre 3 ve daha büyüğü olamayacağından (çünkü x, √(x+6)'dan daha hızlı büyür) [-6,3) bulunur.

2. soru:
√x²-x-20≥0 olacağından sağ taraftaki x-2 de ≥0'dır. O hâlde karesini alınca yön değiştirmez!

R'de çözüm olabilmesi için x²-x-20=(x-5)(x+4)≥0 olmalı. Yani
+++++(-4)------(5)++++++ çizilir. Burada x, -4'den küçük olamaz, o vakit sağ taraf negatif olur (çelişki); -4 ile 5 arası zaten eksi, o zaman kırmızı bölgeye dikkat edilecek.
Sonra her iki tarafın karesini alalım:
x²-x-20≤x²-4x+4 ---> x≤8 ----> O halde [5,8]


Meselâ başka bir soru:
√(x²+2x-15) ≤ x+1 'in çözüm kümesini bulunuz.

---

Hocam ilk soruyu çözümünüzü yaklaşık 2 yıl sonra okudum ancak hatalı buldum. Çünkü yazdığınız denklemler -2'yi kapsamadığı halde [-6,3) cevabını bulmuşsunuz.

Alıntı:

---

batunal444'den alıntı

Hocam ilk soruyu çözümünüzü yaklaşık 2 yıl sonra okudum ancak hatalı buldum. Çünkü yazdığınız denklemler -2'yi kapsamadığı halde [-6,3) cevabını bulmuşsunuz.

---

yorumunuzu yaklaşık 1 hafta sonra okudum ama -2 neden yok anlamadım.
x=-2 için √x+6>x sağlanmıyor mu?
x+6>x² ifadesine takılmayın lütfen bu x>0 olduğu durum için yazılmış.