Modüler Aritmetik

dilaramutlu'den alıntı:

4. sorunun cevabı 28
iraz önce yazdığım sorunun cevabı 10

wilson teoremine göre her p asal sayısı için
(p-1)!≡-1 (modp)

buradan da direkt 28 olduğunu bulmuş olursunuz
wilson teoremini forumda aratırsanız daha ayrıntılı olarak bulabilirsiniz.

Bak şu şekilde yapayım açtım biraz acıkınca gözüm bir şey görmez :o

Yine fermatın küçük teoreminden 7¹² = 1 olacak.

7²⁵⁷²'yi , (7¹²)¹⁴.7⁴ olur.

7¹² = 1 olacak yazalım 1.7⁴ olur. 7⁴ 13 ile bölümünden kalan 10dur.

Peki wilson teoreminin ilginç bir hikayesi de vardır :)

p asal sayı ise (p-1)!=-1 (mod p) şeklinde asal sayılar ile ilgili bir teorem. aslında pek fazla kullanışlı olmayan sıradan bir teorem ancak hikayesi ilginç.

teorem ismini matematikle hiç bir ilgisi olmayan john wilson isimli bir hakimden alıyor ancak wilson, teoremi ne ortaya atan ne de ispatlayan kişi. teorem bir yüzyıl önce yaşamış olan leibniz tarafından zaten biliniyordu ve yayınlandıktan bir yıl sonrada joseph louis lagrange tarafından ispatlandı. ancak wilson, matematik profesörü olan bir arkadaşına bir yemek sırasında bu teoremden bahsedip, arkadaşıvda bunu wilson ortaya atmış gibi yayımlayınca teorem ile ilgili gerçekler herkes tarafından bilinmesine rağmen wilson teoremi olarak matematik dünyasında yerini almıştır.

Her şey tesadüfen olmuş yani.

(27)^-118 ≡ x (mod 13) ise, x'in alabileceği en büyük negatif tam sayı değeri?Cevabı: -7

(-28)⁷⁵ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? Cevap: 3

2¹¹ + 3¹¹+ 4¹¹+ 5¹¹+ 11¹¹+ 12¹¹+ 13¹¹ ≡ x (mod 15) ise, x'in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri? Cevabı:5
Çok teşekkür ederim.

Sorularıma mümkünse bakabilir misiniz? Bugün soru sınırımı açtm sanırım:(

C-1

27=1 (mod 13) olduğundan, soruyu şu şekilde de yazabiliriz.

(1)^-118 ≡ x (mod 13)

1^-118=1 olduğundan,

1=1 (mod 13)
x=1 olacaktır.

Affedersiniz, soruyu yanlış yazmışım, pozitif değer değil, en büyük negatif değer olacaktı

dilaramutlu'den alıntı:

(27)^-118 ≡ x (mod 13) ise, x'in alabileceği en büyük negatif tam sayı değeri?Cevabı: -7

(-28)⁷⁵ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? Cevap: 3

2¹¹ + 3¹¹+ 4¹¹+ 5¹¹+ 11¹¹+ 12¹¹+ 13¹¹ ≡ x (mod 15) ise, x'in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri? Cevabı:5
Çok teşekkür ederim.

-28≡2 (mod 5)

(-28)⁷⁵≡2⁷⁵ (mod 5)

2⁴≡1 (mod 5)
2⁷²≡1 (mod 5)
2³≡3 (mod 5)


-----------------------------

2≡-13 (mod 15)
3≡-12 (mod 15)
4≡-11 (mod 15)




(-13)¹¹ + (-12)¹¹+ (-11)¹¹+ 5¹¹+ 11¹¹+ 12¹¹+ 13¹¹ ≡ x (mod 15)

5¹¹≡x (mod 15)

5^a≡b (mod 15)

a tek ise, b=5
a çift ise b=10

olduğundan x=5

Teşekkür ederim. İlk soruya da bakabilir misiniz?

1. soruda Gökberkin çözümü doğru gibi duruyor.
Sadece 1-13=-12, alabileceği en büyük negatif değer olmalı.
Bu durumda ya sorunun yazımında yanlışlık var, ya da cevabında.