Sorular.

1.)
x üç basamaklı doğal sayı, x≡5(mod6) ve x≡3 (mod8) ise x in en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A)101 B)111 C)121 D)131 E)143

2.)

33²⁰⁰⁷≡x(mod5) x değerinin doğal sayı olarak en küçük değer nedir?

3.)

m∈z⁺,m>1 olmak üzere 48≡3(mod m) denkliğini sağlayan m değerleri ...................?
(Noktalı yer doldurulacak.)

4.)

23^4k+2+5^2k+1 sayısının birler basamağında ............... bulunur.

(Noktalı yer doldurulacak.)

5.)

7²⁷

sayısının birler basamağında .............. bulunur.(Noktalı yer doldurulacak.)

Bu soruların çözümünde yardımcı olacak kişilere şimdiden Teşekkür Ederim.

C-1)

x=6k+5=8t+3 ise her tarafa 13 ekleyelim.

x+13=6(k+3)=8(t+2)

x+13=ekok(6,8)=24n=

x+13=120 olsursa x=107+24=131 olur.

C-2)

Önce 33 sayısının mod5'e göre değerini bulalım. Bunun için 33 sayısının 5 ile bölümünü buluruz.(son basamağın 5 ile bölümüne bakmak yeterli)

33≡3(mod5)

Şimdi kuvvetlerini inceleyelim. Aynı mantıkla 5 ile bölümünden kalanları buluyoruz. 1 bulana kadar devam

3¹≡3
3²≡4
3³≡2
3⁴≡1

1'i bulduk demek ki 3^4k≡1 oluyormuş

2007 sayısı 4'ün katından 3 fazla olduğundan bunu 3^4k+3 şeklinde ifade edelim.

3^4k+3≡x(mod5)

3^4k.3³≡x(mod5)

koyu ile yazdığımdan 1 geleceğinden

3³≡x(mod5) dersek yukarıda bulduğum gibi

3³≡2 alabiliriz.

C-4)

23^4k+2+5^2k+1 sayısının birler basamağını soruyorsa sayıyı mod10'a göre inceleriz.

Tek tek bakalım.

mod10'da

23¹≡3
23²≡9
23³≡7
23⁴≡3

(Buradaki kısa yolu anlatayım. Burada 23² sayısının kaç olduğunu bulmak için karesi almayacağız tabi ki 23.23 ≡3.3 yazabiliriz. Bunu diğerlerini yaparak görebiliriz. 23³ için de 23².23¹≡3.9 yazıp birler basamağını bularak. devam etttik.)

demek ki 23 kuvvetilerinde 4'ün katlarından 3 geliyormuş.

5'in kuvvetleirne bakalım

5¹≡5
5²≡5

demek ki 5'in kuvvetlerinden 5 geliyor.

Şimdi toplayalım.

5+7+3=15≡5 mod(10)

Şıklarda öyle birşey yok.

2) 33=3(mod5),33²=4(mod5),33³=2(mod5),33⁴=1(mod5) 4 te bir 1'e gelir. 2007/4'ün kalanı3 olur yani x=2 olur.

C-5

7²⁷=x (mod 10) soruluyor.

7¹=7 mod 10
7²=9 mod 10
7³=3 mod 10
7⁴=1 mod 10

27=4.6+3

7³ e bakmamız gerek.
7³=3 mod 10

Öyleyse birler basamağında 3 bulunur.

Sen de farketmemişsin. 120-13=107 olur. 1'i kalvye yazmayınca o şekilde devam etmişim.

Çözümü iyi oku, küçük bir klavye hatası olmuş. Kendin de düzeltebilirsin.

c.5) mod 10 bakcaz birler basamağını bulmak için:

7¹≡7 mod10

7²≡9 mod10

7³≡3 mod10

7⁴≡1 mod10
şimdi 27 yi 7 üzeri 4 seklinde yazalım

27/4 6kere var 3 kalanını verir

7⁴(⁶)*7³≡.... mod10
1*3 birler basamağı 3 olur

107 de yok

Şıklarda ne var peki 107 doğruluyor işlemleri.

Çözümlü Modüler Aritmetik Soruları
Tüm Etiketler