Bir Limit Özelliği

f ve g, x=a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere,




ve x'in a sayısına yakın tüm değerleri için f(x)≤h(x)≤g(x) ise




Bunun nedeni nedir ? Yardımcı olacak arkadaşlara şimdiden teşekkür ederim.

Siz üniversite öğrencisi değildiniz sanırım..Bunun ispatı delta-epsilon kullanılarak yapılır..Mustafa Balcı kitabında basit bir ispat var..

|f(x)-L|<ε/4 ve |g(x)-L|<ε/4 olmak üzere limitlerden bu fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde L'den ε/4 kadar uzaklık alalım demek isteniyor..Burada seçilen ε uzaklığı o kadar küçük ki,|x-a|<β için daima |f(x)-L|<ε kalacaktır ve böyle bir β>0 uzaklığı vardır..ε varla yok arasında bir uzaklık..


Aynı x'ler için ;
|h(x)-f(x)|≤|g(x)-f(x)| =
|g(x)-L+L-f(x)| ≤ |g(x)-L|+|f(x)-L|<ε/4+ε/4=ε/2 olur..(bu mutlak değerler yukarıda var)*

|h(x)-L| = |h(x)-f(x)+f(x)-L|≤|h(x)-f(x)|+|f(x)-L| < ε/2+ε/2=ε bulunur..**

İspat burada tamamlandı..

Burada anlatılmak istenen şey aslında basit..g(x) diğer fonksiyonlardan büyük eşit,f(x) de diğer fonksiyonlardan küçük eşit olduğundan,öyle bir ε/4 uzaklığı alıyoruz ki bu uzaklık L değerinin üstünden ve altından (L değeri y ekseninde buraya dikkat) ne kadar uzaklaşsak dahi,ne f(x)'ten küçük bir değer olabiliyor,ne de g(x)'ten büyük bir değer..Kısaca L'den alınan bu uzaklık daima a'nın görüntüsündeki noktadan,a'nın yakınındaki noktaları f(x) ve g(x) görüntülerini aşamıyor..

Şimdi h(x)-f(x) uzaklığının (a'nın yakınındaki noktaların görüntülerini alıyoruz gene) g(x)-f(x) uzaklığından küçük olacağı açık..Öyleyse g(x)'in L noktasına uzaklığıyla L'nin f(x) görüntüsüne uzaklığını toplarsak bile ancak ε/2 kadar uzaklaşmış olacağız..(*'da var bu kısım)

Üst paragraftaki mantıkla * kısmına bakarsak,toplam uzaklık ε'den küçük kalacaktır..Şimdi burada sonuç şu oldu..

f(x) ve g(x)'ten L'ye ε/4 kadar uzaklıktaki noktaları aldık,iki uzaklığı topladığımızda toplam uzaklık ε/2 oldu..Sonrasında aynı işleme devam ettiğimizde toplam uzaklık ε bulundu..
Daha açık bir ifadeyle,f(x)-g(x) aralığını (L'ye yakın ama çok yakın görüntülerde aradığımızı unutmadan) 4'e böldük..Bunun sonucunda h(x)'in L'ye olan uzaklığı f(x)'in g(x)'e olan toplam uzaklıktan (4'e bölünmemiş hali) daha küçük kaldı..ε tam hali,ε/4 bölünmüş halini ifade ediyor..
Daha küçük kaldığı için L'den yeteri kadar uzaklaşamadı,limiti daima L'ye eşit oldu..

Çok açık anlatmaya çalıştım,ama ispat şu üstteki 3 satırlık matematiksel ispattan ibaret..
Anlaşılmayan bir nokta olursa yardımcı olmaya çalışırım..

Gerçekten çok açık anlatmışsınız çok teşekkür ederim verdiğiniz emek için. Evet üniversite öğrencisi değilim, sınava hazırlanıyorum. Geçen sene mezun olmuştum liseden. Bizim matematikte soru sormama alışkanlığımızı yeni aştığımı söyleyebilirim. Bir özelliği gördüğümde bu neden böyle diye öğrenemeyince o konu eksik kalıyor. Matematikte bir şeyi sebepleri ile öğrenince muvaffakiyet veriyor. Sınav için de daha bir özgüven ile ve daha analitik bir bakış açısıyla hareket edilebiliyor. Bu yüzden ispatları araştırıyorum.

Bu özelliği de




Eşitliğinin ispatı ile uğraşırken takılmıştım. Tekrar çok teşekkür ederim.