5 adet integral sorusu

------------





--------------


x=cos2y ise

y dy


--------------


√(1+cosx)dx


-----------------------


x² + y² = 4 ve x² + y² = 4x olan çemberlerin sınırladığı alan?

1-)
tan(x/2)=u
sin(x/2)/cos(x/2)=u

cos(x/2)yi karşıya atıp karesini alalım.

u²cos²(x/2)=sin²(x/2)

sin²a+cos²a=1 olduğundan sin²(x/2) yerine 1-cos²(x/2)yazarız.

u²cos²(x/2)=1-cos²(x/2)

1i yalnız bırakınca

cos²(x/2).(u²+1)=1

cos²(x/2)=1/(u²+1)

sin²(x/2) de burdan u²/(1+u²)

sonra cosx in yarım açısından

cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)=(1-u²)/(1+u²)

ayrıca x/2=arctanu oluyor bu ifadenin türevini alırsak:dx=2du/1+u²)

bu basamaklar ile integarli çözmemiz için gerken verileri elde ettik.integrali çözmeye geldi sıra

∫2du/(1+u²)(5+4(1-u²)/(1+u²)
=∫2du/(u²+9)
=2/9∫du/(1+(u/3)²))
=2/3arctan(u/3) çıkıyor integrali

u'yu yerine yazarsak

=2/3arctan(1/3tan(x/2)

şimdi sınırları yazıp farkını alıcaz
cvp:2π/18=π/9

güzel soruymuş.kolay gelsin,iyi çalışmalar

2-)
x-1=u
dx=du

∫du/u²=∫u⁻²du

x=0 -->u=-1
x=4 -->u=3

=-u⁻|(-1 ve 3 aralıklı)(nasıl yazıldığını bulamadığım için böyle yazmak durumunda kaldım)
bu değerleri üstteki-alttaki şeklinde yazıp sonuç bulacağız.
(-1/3)-(-1)=2/3