Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

1. a, b ve c reel sayılardır.
a.b.c=4
a+b+c=0 olduğuna göre a³+b³+c³ ifadesi kaça eşittir? (12)

2. 4a−1=0 olduğuna göre,
(a⁹+a⁸+.......+a²+a+1)/(1−a¹⁰)
ifadesinin değeri kaça eşittir? (4/3)

3. (x³−mx+10)/(x²−x−2) ifadesi sadeleştirilebilir bir kesir olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? (0)

4. x²−10x=9√x olduğuna göre, x−√x ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? (9)

5. a.b=9
√a−√b=6 olduğuna göre, a√b−b√a ifadesinin değeri kaçtır? (18)

1. soru
Bu soruda toplamın küpü açılımını kullanacağız.
(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³
(a+b+c)³=0³
((a+b)+c)³=0
((a+b)³+3(a+b)²c+3(a+b)c²+c³)=0
(a³+3a²b+3ab²+b³+3(a²+2ab+b²)c+3ac²+3bc²+c³)=0
(a³+3a²b+3ab²+b³+3a²c+6abc+3b²c+3ac²+3bc²+c³)=0
(a³+b³+c³+6abc+3a²b+3a²c+3ab²+3b²c+3ac²+3bc²)=0
(a³+b³+c³+6abc+3a²(b+c)+3b²(a+c)+3c²(a+b))=0

yukarıda ilgili yerlere, soruyla beraber verilen a+b+c=0 ifadeyi kullanarak;
b+c için b+c=-a
a+c için a+c=-b
a+b için a+b=-c
yazalım.

(a³+b³+c³+6abc+3a²(-a)+3b²(-b)+3c²(-c))=0
(a³+b³+c³+6abc-3a³-3b³-3c³)=0
6abc-2(a³+b³+c³)=0
6abc=2(a³+b³+c³)

Soruda verilen abc=4 değerini yerine koyarsak,

6.4=2.(a³+b³+c³)
Buradan a³+b³+c³= 12 bulunur.

5.soru
a√b-b√a 'yı √a.√b parantezine al

√(a.b)(√a-√b) a.b=9 bunun karekökü 3 gelir.
√a-√b=6
6.3=18

4. sorunun cevabı:
x²-10x=9√x
x²-10x+9x-9x=9√x
x²-x=9x+9√x
Aşağıdaki açılımı x²-x ifadesi için kullanıyoruz
x²-x=(x+√x)(x-√x)
x²-x=x²-x√x+x√x-x

(x+√x)(x-√x)=9(x+√x)
Sonuç olarak x-√x=9 olur.

2. soru

Çok teşekkürler ama 3.soruya da yardımcı olun lütfeeen.

Çok teşekkürler, emeğinize sağlık.

3. soruda tam bölünebilmesi için x=2 ve x=-1 değerleri (x^3−mx+10) nun kökü olmalı.
Yani yerine yazılırsa m değerleri bulunabilir.

1.soru:a^3+(b+c).(b^2-b.c+c^2)=a^3+(-a).((b+c)^2-3.bc)
=a^3-a.((-a)^2-12/a)
=a^3-a^3+12
=12