denklem ve eşitsizlik sorularım

1-)

mx²-2mx+3 / -x²+2x-3 > 0 eşitsizliği her∈R için sağlandığına göre, m reel sayısının bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap : boş küme

2-)

x+3 = √15-x² + √6 denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?

Cevap : 1

3-)

mx²+2mx+2m > x²+2x+3 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesinin R olması için m hangi aralıkta değer almalıdır?

Cevap m>2

4-) x²+2mx-3 = 0 denkleminin kökleri x1,x2 'dir.

x1=3x2 ise m kaç olabilir?

Cevap : -2

5-)

a,c,d,e ∈ R/{0} dır. x²+ax+b=0 denkleminin kökleri a ve b , x²+dx-c=0 denkleminin kökleri kökleri c ve d ise , (a+b+c+d) kaçtır?

Cevap : 0

5-))

3mx²+3x+m+1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1³+x2³ = 1 ise x1 + x2 en çok kaçtır?

Cevap : 1




Şimdiden teşekkür ederim kolay gelsin...

https://img849.imageshack.us/img849/...at20102012.png
C.1
Aşağıyı -1 parantezine alalım.
-(x²-2x+3)=-((x-1)²+2)
Bütün reel sayıların karesi 0 veya 0'dan büyük olduğundan dolayı burası daima negatiftir. O halde pay'ın x'in her değeri için negatif olması gerekir. Bunun içinse altta yazdığım teoremi kullanalım.
Hatırlatma:
ax²+bx+c gibi bir ikinci dereceden denklemin x'in her değeri için negatif olması için;
a<0 ve -c+b²/4a≥0 olmalı.
Soruya dönelim. Paydaki ifade şöyle:
mx²-2mx+3
m<0 olmalı.
-3+m≥0
Böyle bir m değeri olmadığı için m'nin alabileceği değerler kümesi boş kümedir.

C:2
√6'yı öbür tarafa atıp her tarafın karesini alırsak şöyle bir denklem elde ederiz:
2x²+(6-2√6)x-6√6=0
delta=(6-2√6)²+48√6
6=a, 2√6=b olsun.
delta=(a-b)²+4ab=a²+2ab+b²=(a+b)² olur.
√delta=a+b=6+2√6
Denklemin kökleri=-3 ve √6 olur.
Ancak bu köklerden denklemi sağlayan sadece √6'dır. -3 sağlamaz.
NOT: (Özellikle köklü-üslü) Denklem sorularında bulunan kökler her zaman denklemi sağlamayabilir. Ancak denklemi sağlayan değerlerin hepsi bizim bulduğumuz köklerin içindedir. (Tabi 0 olma ihtimalini göz ardı edip sadeleştirme yapmazsanız) Bundan dolayı bulunan kökler denklemde yerine yazıp denenmelidir.
Bunun matematiksel izahı: Biz burada başta kare alırken negatifliği ortadan kaldırdığımız için sorun ortaya çıktı. -3'ü yerine yazın: -√6=√6 olur. Böyle bir yanlışlıkla karşılamamızın nedeni; kare alarak denklem çözmek. Çünkü sonuçta kareleri eşti olan iki sayı birbirine eşit olmayabilir.

C.3
Sağdaki ifadeleri sola atın:
(m-2)x²+(2m-2)x+2m-3>0
Yine benim yazdığım teoremden hareketle;
a>0 ve c-b²/4a≥0 olmalı.
m-2>0
m>2 olmalı.
https://img402.imageshack.us/img402/...at20102012.png

Gördüğün gibi; artık çözümlerimiz çok daha kolaylaştı. Formülde yerine yazıp buluyoruz. :)

https://img43.imageshack.us/img43/3271/mat20102012.png

Mat.'den alıntı:

Belki de bu soruların hepsinin bir formülü falan vardır. Ben formülleri bilmediğim için böyle uzun uzun çözümlerle fomülleri ispatlaya ispatlaya gidiyorumdur. Formül falan bilen varsa paylaşsın. :)

valla çok teşekkür ederim vakit ayırıp uğraşmışsın.

ancak ne yazık ki benim kafam basmadı :(

mesela 1. soruda demişsinki : "her değerde negatif olan hiçbir 2. derece denklem olamaz."

ancak orda ki 2. derece denklem değil ki? - ( x-1² ) yani içeri her zaman pozitif ancak parantez dışında - olduğu için hep negatif olmuş oluyor.

Bide 2. soruda √6'yı sola attıktan sonra x+3-√6 'nın karesini nasıl aldın anlamadım.

Teşekkür ederim tekrar.


Bide benim için çok önemli bir soru var vaktiniz varsa;

x²+2x+m ifadesi herx∈R için (-4) ten büyük olduğuna göre m nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? cevap -2

Mat.'den alıntı:

https://img43.imageshack.us/img43/3271/mat20102012.png

xkare den sonra + olcak pardon

C.5
2a²+b=0 ve b²+ab+b=0 olmalı.
Ayrıca; c²+cd-c=0 ve 2d²-c=0 olmalı.
1. denklemden; b=-2a² gelir. 2'de yerine koyarsak;
2a²-a-1=0
(2a+1).(a-1)=0
a=-1/2 ve b=-1/2 veya a=1 ve b=-2 olur.
a+b sabittir ve -1 'dir.
Aynı işi c ve d için yaparsak;
(2d-1).(d+1)=0
d=1/2 ve c=1/2 veya d=-1 ve c=2 olur.
c+d sabittir ve 1'dir.
a+b+c+d= -1+1=0 olur.

https://img266.imageshack.us/img266/...at20102012.gif

LoDoS'den alıntı:

https://img266.imageshack.us/img266/...at20102012.gif

teşekkür ederim.

normalde denklemler için delta küçük 0 olursa reel kök yok diyorduk. eşitsizliklerde nasıl böyle bir şey söyleyebiliyoruz. farkı nedir kafam karıştı.

https://img690.imageshack.us/img690/...at20102012.gif

https://img833.imageshack.us/img833/...at20102012.png

https://www.matematiktutkusu.com/for...html#post94382 Burada da senin öbür sorunu anlattım. Lodos'un anlattıklarından kafan karışıyosa benim uydurduğum bilgileri kullanarak bütün soruları çözebilirsin.