Bölenlerin kareleri toplamı

P_n ile n sayısının pozitif bölenlerinin kareleri toplamını gösterelim.

P_n²<n⁵ olduğunu gösteriniz.

kimse ugrasmiyor sanirim.

Bu ispat beni aştı galiba :(

gökberk'den alıntı:

Bu ispat beni aştı galiba :(

ben bi ispat yazayım bakalım seni aşmayacağını hep beraber görmüş olalım :)

herhangi bi n sayısı tüm bölenleri listeleyelim
tüm bu bölenler n çarpımı veren ikililer olarak gruplandırılsın. (örneğin 36 için 1-36,2-18,... gibi)
bu gruplandırmadaki grup sayısı √n i geçemez
hrhangi bir grup içinde de sayıların çarpımı n olduğuna göre karelaeri toplamı n² den küçüktür (a.b=n → a²+b²≤n²)
öyleyse P_n≤(√n).n² → P_n²≤n⁵ elde edilir.

bu ispat çok farklı yollardan da yapılabilir çünkü yterince büyük sayılarda bu n⁵ sınırı gerçğin çok üstünde kalıyor. daha hassas sınırlar geliştirilebilinir, en basitinden bir sayının 2√n tane böleni zaten olmaz dolayısıyla oluşacak grupların sayısı da √n olmaz.