[(x-1)²]=([x-1])² denkleminin reel sayılarda çözünüz.Not: köşeli parantez tam değer anlamındadır.
Yazdırılabilir görünüm
[(x-1)²]=([x-1])² denkleminin reel sayılarda çözünüz.Not: köşeli parantez tam değer anlamındadır.
öncelikle bir cevap yazacağım fakat tam olarak emin olmadığımı söyleyebilirim
şimdi sorunun çözüm kümesinde tüm tam sayılar vardır yani Z kümesi bu ifadenin çözüm kümesindedir ancak bu sorunun cevabı yalnızca Z kümesi değildir örneğin (0,2) aralığından alınan rastgele bir reel sayı da çözümü sağlar ancak (2,+sonsuz) aralığındaki her reel sayı çözümü sağlamaz bu yüzden bu aralıktan hangi reeller işimize yarar onu düşünmemiz lazım ben bu yüzden olaya parça parça bakalım derim yani (2,3) , (3,4) ,..... aralıklarındaki reel sayılardan hangileri çözüm kümesine dahildir onu bulmalıyız şimdi burada öncelikle 2 ile 3 arasındaki sayılara bakalım bu sayıların 1 eksiği her zaman 1 ile 2 arasındadır kareleri de 2 ile 4 arasındadır ancak bu sayıların 1 eksiğinin tam değeri 1 dir ve karesi de 1 olduğundan bu 2 ile 3 arasındaki sayılardan 1 eksiğinin karesinin tam değeri 1 olanlar işimize yarar yani şunu diyorum (x-1)²<2 dolayısıyla x-1<√2 olanlar işimize yarar aynı mantıkla 3 ile 4 arasındaki sayıların 1 eksiği 2 ile 3 arasındadır karesi de 4 ile 9 arasındadır ancak bu sayıların 1 eksiğinin tam değeri 2 dir ve karesi de 4 tür o halde bize (x-1)² <5 dolayısıyla x<√5+1 sayıları gereklidir bunu bu şekilde sürdürebiliriz dikkat edersek köklü değerlerin içi 2 den başlıyor ve sürekli 3 5 7 .... artarak ilerliyor o halde son olarak çözüm kümemizi Z ∪ (0,2) ∪ (2,√2+1) (3,√5+1) ........... (n,√(n-1)²+1 +1) diye yazabiliriz
sorunun kaynağı nedir? bunu şu yüzden soruyorum ;flarmoni'den alıntı:[(x-1)²]=([x-1])² denkleminin reel sayılarda çözünüz.Not: köşeli parantez tam değer anlamındadır.
sorunun cevabı sonsuz tane ayrık kümenin birleşimi , yani herhangi bir üniversite sınavı ya da test sınavında çıkmayacak bir yapısı var.
neyse işte -1 kısımlarıyla uğraşmamak için y=x-1 deriz ve [|y|]²=[|y²|] denklmini çözeriz.
a∈Z ve 0≤b<1 için
y=a+b olmak üzere
denklem
[|a+b|]²=[|a²+2ab+b²|]
a²=a²+[|2ab+b²|] şekline dönüşür.
buradan [|2ab+b²|]=0 ya da
0≤2ab+b²<1 sonucuna ulaşırız.
buradan da her pozitif a değeri için bir b bulunabilir yani sayıdoğrusunda her tamsayı aralıkta ufak da olsa bu koşula uyan bir kısım vadır. ayrıca b=0 için de tüm negatif a değerlerinde koşul sağlanır. nasıl bir cevap bekleniyor bilemediğim için bu aralıkları kapalı olarak ifade etmekten başka çare yok sanırım.
şöyle diyelim
2ab+b²<1
2a+b<1/b , iki tarafa da b elenirse
2a+2b<(1/b)+b=(b²+1)/b
2y<(b²+1)/b koşulunu sağlayan her y değeri buna uygundur. (b sayının tanımladığımız üzere küsüratı kısmı)
Sorunun üniversite sınav sorusu olmadığını biliyorum ,özel bulduğum için paylaşmak istedim sadece..İlginiz için teşekkürler.