MatematikTutkusu.com

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği (Kaşi Şvorz)

17 Ağu 2011, 01:23
duygu95

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği (Kaşi Şvorz)

Cauchy-Schwartz eşitsizliği hakkında bilgi almak istiyorum. Yardımcı olacak var mı ?
17 Ağu 2011, 01:32
Cem1971

x₁, x₂, ...., x_n
y₁, y₂, ...., y_n reel sayı olmak üzere,

(x₁y₁+x₂y₂+....+x_ny_n)² ≤ (x₁²+x₂²+....+x_n²) . (y₁²+y₂²+....+y_n²) eşitsizliğine Cauchy-Schwarz eşitsizliği denir.

Eşitsizlikteki eşitlik ancak, k orantı sabiti olmak üzere, x₁=ky₁ , ...., x_n=ky_n iken mümkündür.
17 Ağu 2011, 01:36
duygu95

Hocam bu Cauchy-Schwartz eşitsizliğini x+y+z=5 ve x^2+y^2+z^2=5 bu denklemlerde sorulan mesela x'in en büyük , en küçük değerini bulabilir miyiz bu soruda sayıları uydurdum. bu tarz sorular için mi kullanılır. ya da hangi tarz sorular için kullanılır. açıklayabilir misiniz ?
17 Ağu 2011, 12:35
gereksizyorumcu

evet sayilari uydurdugun belli oluyor.
X vektoru (x,y,z) iken Y vektorunu (1,1,1) alsak
iccarpim tarafi x+y+z=5 in karesi 25 oluyor
vektorlerin uzunluklari tarafi ise 5.3=15 oluyor
kisaca reel sayilarda boyle x y z bulunamaz.
sayilardan en az biri complextir.

not. cauchy complex sayilarda da gecerlidir sadece yazimi vektorun uzunlugunu dogru ifade edebilecek sekilde olur. bulabilirsem CS kullanilarak cozulen bikac soruyu aksam yazmaya calisirim
17 Ağu 2011, 14:37
Cem1971

Mâdem mevzû açtın... Meselâ bir üniversitenin Analiz kitabından bir soru:
https://img40.imageshack.us/img40/1858/matkosi2.gif

Çözümünü şöyle yapabiliriz:
https://img850.imageshack.us/img850/9563/matkosi1.gif

Başka:
https://img690.imageshack.us/img690/2930/matkosi3.gif
Bu resimdeki soruyu şöyle değiştirelim:
x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z² toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

Çözümü sana bırakıyorum Duygu... Meraklılığını gider bakalım.:)
17 Ağu 2011, 19:49
duygu95

Çok teşekkür ederim..
Hocam bişeyler buldum ama doğru mu bilmiyorum :)

x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z²toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

|5x+4y+3z|²≤(5²+4²+3²).(x²+y²+z²)

|5x+4y+3z|≤√5²+4²+3².√x²+y²+z²

210≤√50.√x²+y²+z²

40401/50≤x²+y²+z² böyle birşey buldum. Sayı biraz tuhaf çıktı yanlış mı yaptım ? :confused: :o
18 Ağu 2011, 06:38
gereksizyorumcu

(IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.
18 Ağu 2011, 20:33
Cem1971

Alıntı:

duygu95'den alıntı

x, y, z birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve 5x+4y+3z=201 olduğuna göre, x²+y²+z²toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?

|5x+4y+3z|²≤(5²+4²+3²).(x²+y²+z²)

|5x+4y+3z|≤√5²+4²+3².√x²+y²+z²

210≤√50.√x²+y²+z²

40401/50≤x²+y²+z² böyle birşey buldum. Sayı biraz tuhaf çıktı yanlış mı yaptım ? :confused: :o

Yoo doğrudur. 201²/50=808,02≤ x²+y²+z² ---> Demek ki min=809 olur.
18 Ağu 2011, 20:44
duygu95

Alıntı:

gereksizyorumcu'den alıntı

(IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.

Bu soruyu nasıl çözeriz hocam ?
19 Ağu 2011, 00:11
gereksizyorumcu

Alıntı:

Cem1971'den alıntı

Yoo doğrudur. 201²/50=808,02≤ x²+y²+z² ---> Demek ki min=809 olur.

Hocam soruda x,y,z için pozitif tamsayılar denildiğinden daha keskin bi inceleme yapılması gerekmez mi? 809 değerini alabileceğini sanmıyorum. hatta bi kağıt kalem elime alayım bakalım bişeyler bulabilecek miyim :)

Alıntı:

duygu95'den alıntı

Bu soruyu nasıl çözeriz hocam ?

Konunun altına yazılmış , demek ki Cauchy-Schwarz ile çözülebiliyor. Olimpiyatın 1. sorusu olduğuna göre de fazla zor olmasa gerek.
19 Ağu 2011, 00:43
duygu95

Alıntı:

gereksizyorumcu'den alıntı

Konunun altına yazılmış , demek ki Cauchy-Schwarz ile çözülebiliyor. Olimpiyatın 1. sorusu olduğuna göre de fazla zor olmasa gerek.

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

böyle bir şey mi bulmam gerekiyor ? yoksa sayısal bir şey mi bilmediğim için sormuştum. :(
19 Ağu 2011, 00:45
gereksizyorumcu

x²+y²+z²=810 , 5x+4y+3z=201 için
(20,17,11) , (21,15,12) nin çözüm olduğu görülüyor.

x²+y²+z²=809 , 5x+4y+3z=201 için pozitif tamsayılarda çözüm olmayacağını göstermeye çalışırız.
809≡2 (mod3) olduğundan sayılardan tam olarak 1 tanesi 3 ile bölünür ikinci eşitlikte bu inceleme yapılırsa bunun z olduğu görülür. ayrıca x≡y (mod3) de elde edilir.

buradan sonra aklıma z için 3,6,9.. gibi inceleme yapmaktan başkası gelmedi şimdilik.
z=3 →
x²+y²=800 ve 5x+4y=192 , yine CSI den (5x+4y)²=192²≤(x²+y²).(5²+4²)=800.41 , ama bu eşitsizlik sağlanmıyor yani böyle x ve y ler bulunamıyor.

z=6 için
x²+y²=773 ve 5x+4y=183 aynı şekilde 183²≤773.41 çelişkisi elde edilir

z=9 için
x²+y²=728 ve 5x+4y=174 , buradan 174²≤728.41 olması gerektiği bulunur yine çelişki

z=12 ye sonra bakalım
z=15 , 18 , 21 , 24 ve 27 için benzer çelişkiler elde edilir

z=12 oluğunda
x²+y²=665 ve 5x+4y=165

ikinci eşitlik 5 modunda incelendiğinde y≡0 (mod5) elde edilir.
ilk eşitlik 5 modunda incelendiğinde x≡0 (mod5) elde edilir.
sonucunda x²+y²≡0 (mod25) elde edilir ama 665≢0 (mod25)

bu kötü çözümün sonucu olarak böyle sayılar olmadığını görürüz.
19 Ağu 2011, 00:52
gereksizyorumcu

Alıntı:

duygu95'den alıntı

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

böyle bir şey mi bulmam gerekiyor ? yoksa sayısal bir şey mi bilmediğim için sormuştum. :(

P noktalarının yrini bulman gerekiyor :)
mesela atıyorum bu eşitsizliği yazdığında dikmelerden ikisinin uzunluğunun 0 olması gerektiğini buluyorsundur sonuç olarak P noktasının köşelerden birinde olması gerektiğini falan bulmuş olursun.
19 Ağu 2011, 01:06
gereksizyorumcu

şimdi defterleri kurcalıyodum bi tane daha soru buldum , her ne kadar direkt uygulaması olmasa da bu da bir örnek sayılır.

Alıntı:

a+b=1 ve a>0 , b>0 için
(a+(1/a))² + (b+(1/b))² ≥ 25/2
olduğunu gösteriniz.
19 Ağu 2011, 01:08
duygu95

Hocam ilk yazdığınız sorunun çözümünü yazabilir misiniz ? çözemedim merak ettim.
19 Ağu 2011, 01:25
gereksizyorumcu

Alıntı:

duygu95'den alıntı

Hocam ilk yazdığınız sorunun çözümünü yazabilir misiniz ? çözemedim merak ettim.

aslında çözdün de budu diyip sonuçlandıramıyosun

Alıntı:

duygu95'den alıntı

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

böyle bir şey mi bulmam gerekiyor ? yoksa sayısal bir şey mi bilmediğim için sormuştum. :(

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

bize verilen bir üçgende BC,CA ve AB uzunlukları kenarlardır ve sabittir , BC.PD+CA.PE+AB.PF çarpımı da alanın 2 katıdır ve sabittir kısaca sağ taraf sabittir. P noktasının seçimine göe sol taraf en az bu değeri alacağına göre P noktası eşitliğin sağlandığı noktada seçilmelidir, eşitlik ise
(BC/PD,CA/PE,AB/PF) ile (BC.PD,CA.PE,AB.PF) vektörleri lineer bağımlı olduğunda ya da biri diğerinin k bir reel sayıyken k katı olduğunda geçerlidir

burada PD=PE=PF bulunur , bu nokta da içteğet çemberin merkezi olur.
19 Ağu 2011, 01:35
duygu95

:) Evet, gerisini düşünemedim saolun :)
19 Ağu 2011, 16:06
Cem1971

Alıntı:

gereksizyorumcu'den alıntı

şimdi defterleri kurcalıyodum bi tane daha soru buldum , her ne kadar direkt uygulaması olmasa da bu da bir örnek sayılır.

Pek sık giremiyorum, fırsat buldukça girmeye çalışıyorum. Bu yüzden mesajlara cevaplar gecikiyor, kusura bakmayın.
Duygu Hanım dokunmadığına göre, ilk önce şu sorunuzu cevaplayayım Sevgili "Gereksiz(!)" kardeşim.:)
https://img838.imageshack.us/img838/812/matcse1.jpg
19 Ağu 2011, 16:20
Cem1971

Alıntı:

gereksizyorumcu'den alıntı

Hocam soruda x,y,z için pozitif tamsayılar denildiğinden daha keskin bi inceleme yapılması gerekmez mi? 809 değerini alabileceğini sanmıyorum. hatta bi kağıt kalem elime alayım bakalım bişeyler bulabilecek miyim :)

Tabiî ki, sökonusu soruyu CSE'ye uyarlarken o kısmı atlamışım. Reel sayı demeliydim. Tamsayı için vermez tabiî ki, boşuna tanımda "reel sayı" dememiş Koşi. Bir bildiği var.
Fakat bu adamın bulduğu eşitsizlik o kadar sağlıklı - gerçeğe yakın ki neredeyse tamsayı için de aynı sonucu verecek ve tahminimce, tamsayılar için min=810 olacak. Reel ile tamsayının min'liğii arasında çok az bir oynama oluyor. Bunu benzer sorularda da görebilirisiniz.
Diyafont denklemi kullanarak 810 için (21,15,12) ve (20,17,11) görülebiliyor. Ben de manuel olarak birkaç çözüm yaptım, 810'dan daha küçüğüne rastlamadım.
Bu mânâda, yukarıdaki sorunuzda ve 809 için mod'u kullanarak yaptığınız ispatta haklısınız.
19 Ağu 2011, 17:12
Cem1971

Alıntı:

gereksizyorumcu'den alıntı

(IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.

Bu soruya yapılan çözüme binâen benzer veya eşdeğer olimpik bir soru da ben yazayım:

Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC, CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D, E ve F olsun. |PD|²+|PE|²+|PF|² toplamının minimum olması için üçgenin kenarları ile inilen dikmeler arasında nasıl bağıntı olmalıdır?

Çözüm:
CSE kullanılırsa,
(|AB|.|PF|+|BC|.|PD|+|AC|.|PE|)²≤(|AB|²+|BC|²+|CB|²).(|PF|²+|PD|²+|PE|²)
Kenarlar ve |AB|.|PF|+|BC|.|PD|+|AC|.|PE| toplamı sabittir. Diğer taraftan CSE'nin sağ tarafı açılırsa,

(|AB|.|PF|+|BC|.|PD|+|AC|.|PE|)²+(|AC|.|PD|-|BC|.|PE|)²+(|BC|.|PF|-|AB|.|PD|)²+(|AB|.|PE|-|AC|.|PF|)² elde edilir.

İstenen toplamın min olması için (|AC|.|PD|-|BC|.|PE|)²+(|BC|.|PF|-|AB|.|PD|)²+(|AB|.|PE|-|AC|.|PF|)² toplamının min olması gerekir ki tam kareden dolayı

|AC|.|PD|=|BC|.|PE| --> |BC|/|PD|=|AC|/|PE|
|BC|.|PF|=|AB|.|PD| --> |BC|/|PD|=|AB|/|PF|
|AB|.|PE|-|AC|.|PF| --> |AC|/|PE|=|AB|/|PF| ---> |BC|/|PD|=|AC|/|PE|=|AB|/|PF| bağıntısı elde edilmiş olur.
29 Ağu 2011, 22:46
ş@hm@r@n

vayyy bunları bilmiyordum hemen arşive atayım teşekürler hocam...
03 Eyl 2011, 14:58
Cem1971

Alıntı:

ş@hm@r@n'den alıntı

vayyy bunları bilmiyordum hemen arşive atayım teşekürler hocam...

Hoşuna gitti yâni şahmeran. O zaman bir şey daha vereyim. Gereksiz(!) Hoca'nın sorduğu ....≥25/2 sorusunu n. hâl için genelleyebiliriz. Şöyle:

https://img546.imageshack.us/img546/...at03092011.gif

İspatı, benim soruda yaptığımın benzeri olarak n hâli için yapılabilir.