(2012!)² ve 2012²⁰¹² sayılarından hangisi daha büyüktür ispatlayınız.

Güzel bir soru başka bir sayfada görmüştüm.

(2012!)² >(2012)^2012

Alıntı:

---

mustafatr'den alıntı

(2012!)² >(2012)^2012

---

Bunu bulmak kolay kısmı ama sebebini açıkla neden böyle olduğunu.

ispatınıda yarın yapıyım:) yapabilirsem

n!≥xⁿ/e^x (e nin seriye açılımından görülebilir.)

(2012!)² >[(2012/e)²]²⁰¹²

üsler aynı ise tabanı büyük olan sayı daha büyüktür. bu sayının tabanı (2012/e)² >2012 dir buradan

(2012!)² >2012²⁰¹²

hasim hocam ıspatını yapmış:)

Hocam ben ''e'' sayısını bilmiyorum. kuralı varsa bilmiyordum doğrudur bu çözüm. ama işlemli bir ispatı da var.

Matematik 2 git gide sevmeye başladım :)

yalnız çözümde ufak bişi gördüm birazdan düzeltirim , ...:)

farklı bir çözüm olarak;
2012²⁰¹²=(2012¹⁰⁰⁶)² şeklinde yazalım,

diğer sayıyı için ;
2012! sayısının çarpanlarını ikişerli gruplara ayıralım,
2012.1
2011.2
2010.3
2009.4
.......

1007.1006

2012! sayısını ikişerli gruplara ayırdık, her grubun çarpımı 2012 sayısından büyüktür.(toplamları sabit olan iki sayının çarpımlarının max değeri; sayıların birbirine en yakın olduğu durumdur. ekbilgi.)

2012!=(2012.1)(2011.2)(2010.3).....(1007.1006) burda 1006 tane (parantezli) sayının çarpımı var ve her parantezin içi 2012 den büyüktür dolayısı ile 2012! >2012¹⁰⁰⁶ dir. buradan iki tarafında karesini alırsak;
(2012!)²>2012²⁰¹²

Evet hocam benim demek istediğimde bu şekildeydi başka sayfada da bu şekilde yapılmış aynı.

Alıntı:

---

‎(n!)^2 >n^n olduğunu gösterelim.
n>2 olmak üzere.
(n!)^2=n!.n! =(1.2.3.4....n).(n.(n-1).8​n-2)...3.2.1)
şimdi bir baştan bir sondan sayıları çarparak yazalım
(1.n).(2.(n-1) )...(k.(n-k+1) )...(n.1)
her bir k ,( 2<=k<n ) olmak üzere,
k.(n-k+1)=(n-k).(k-1) +n >n olduğundan
(n!)^2 >n^n dir...

---