acil yardım lütfen!

S.1. Dikdörtgen şeklindeki bir masanın bir kenarında oturan 20 tane kişi arasından, herhangi ikisi komşu (yan yana oturan) olmama koşuluyla 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

S.2. Ahmet, hem simetrik hem de geçişken olan bağıntıların aynı zamanda yansıyan olduğunu düşünmekte ve bunu aşağıdaki gibi ispatlamaktadır. Sizce Ahmet’in düşüncesinin yani “hem simetrik hem de geçişken olan bağıntıların aynı zamanda yansıyan olduğu” doğruluğunu yaptığı ispatı inceleyerek tartışınız.
Bir X kümesi üzerinde hem simetrik hem de geçişken bir bağıntı R olsun. Bir için olduğunu göstermemiz gerekir. olacak şekilde herhangi bir alalım. Simetri özelliğinden dir. Geçişme özelliğinden de , olduğu görülür.

S.3. x³+x+1 = 0 denkleminin rasyonel sayılarda çözümünün olmadığını ispatlayınız.

1.
(masanın bir kenarında oturan denildiği için sanki bu insaları tek bir dizi gibi düşünüyorum)
yanyana oturan 20 kişiden 3 kişi C(20,3)=20.19.18/6=1140
fakat bunlardan yanyana gelme dumlarını çıkarmalıyız,
yanyana ikililerin sayısı (20-2+1)=19 dur , bunlardan bi tanesi seçilir ve 3. kişi de kalan 18 kişiden biri seçilebilir C(19,1).18=19.18=342
fakat bu sefer de 3 kişinin birden yanyana oturduğu durumları fazladan çıkarmış oluruz onları yeniden eklemeliyiz
yanyana üçlülerin sayısı (20-3+1)=18 dir , C(18,1)=18 de bunların sayısı

cevap 1140-342+18=816 olmalı


2.
galiba sorudaki bazı kısımlar çıkmamış


3.
p ve q aralarında asal tamsayılar olmak üzere x=p/q rasyonel sayısı bu denklemin bir kökü olsun (q≠0)

p³/q³+p/q+1=0 , payda eşitleriz
p³+pq²+q³=0 , düzenlrsek
q²(p+q)=-p³ , denklemin sol tarafı q ile bölünebildiğine göre sağ tarafı da bölünmlidir ama p ile q aralarında asal olduğundan bu ancak q=±1 için sağlanabilir

q=1 → p³+p+1=0 , bu da p=-1,0 ve 1 için sağlanmaz |p|≥2 için de p³ ün mutlak değeri |p+1| den büyük olacağından bu toplam 0 olamaz.
ya da ilk kısımdakine benzer bir inceleme yaparsak 1=-p.(p²+1) olur ki hem p hem de p²+p tamsayılar olduklarından bu ancak iki çarpanın da mutlak değrce 1 olduğu durumda mümkündür p=±1 için p²+1=2 olduğundan böyle bir eşitlik tamsayılarda sağlanmaz.

q=-1 için de q=1 dekine benzer bir inceleme yapılabilir.

böylece bu denklemin rasyonel sayılarda çözümü olmadığını göstermiş olduk.

verdiğiniz cevaplar için teşekkür ederim. 2. soruda sanırım eksiklik olmuş orjinal halini tekrar yazıyorum
Ahmet, hem simetrik hem de geçişken olan bağıntıların aynı zamanda yansıyan olduğunu düşünmekte ve bunu aşağıdaki gibi ispatlamaktadır. Sizce Ahmet’in düşüncesinin yani “hem simetrik hem de geçişken olan bağıntıların aynı zamanda yansıyan olduğu” doğruluğunu yaptığı ispatı inceleyerek tartışınız.
Bir X kümesi üzerinde hem simetrik hem de geçişken bir bağıntı R olsun.Bir x ∈ X için
x R x olduğunu göstermemiz gerekir. x R y olacak şekilde herhangi bir y alalım. Simetri özelliğinden y R x dir. Geçişme özelliğinden de x R x , olduğu görülür.

Ahmet doğru düşünmüş gibi gözüküyor.

naky'den alıntı:

verdiğiniz cevaplar için teşekkür ederim. 2. soruda sanırım eksiklik olmuş orjinal halini tekrar yazıyorum
Ahmet, hem simetrik hem de geçişken olan bağıntıların aynı zamanda yansıyan olduğunu düşünmekte ve bunu aşağıdaki gibi ispatlamaktadır. Sizce Ahmet’in düşüncesinin yani “hem simetrik hem de geçişken olan bağıntıların aynı zamanda yansıyan olduğu” doğruluğunu yaptığı ispatı inceleyerek tartışınız.
Bir X kümesi üzerinde hem simetrik hem de geçişken bir bağıntı R olsun.Bir x ∈ X için
x R x olduğunu göstermemiz gerekir. x R y olacak şekilde herhangi bir y alalım. Simetri özelliğinden y R x dir. Geçişme özelliğinden de x R x , olduğu görülür.

Ahmet yanlış düşünüyor çünkü yansıyan olmak herhangi bir x için değil her x için (x,x) in R nin elemanı olmasını gerektirir.
R kümsei kendi içindekielemanlarda yansıyandır ama X teki tüm elmanları örttüğünü bilemeyiz örnek verelim;
X={1,2,3,4} olsa
ve
R={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)} olsa R hem simetrik hem geçişkendir ama kendi kısıtlı eleman listesinde yansıyan olmasına rağmen X kümesinde yansıyan değildir.

çok teşekkür ederim.

Gene şartladım kendimi.
Şöyle olsaydı doğru olurdu galiba:
Hem yansıyan, hem simetrik bağıntı, aynı zamanda geçişkendir.