bölünebilme ispat sorusu

n doğal sayı ve n>1 için
2ⁿ-1 sayısının n ile bölünemeyeceğini gösteriniz

n çift olunca bölünmeyeceği gayet açık fakat n tek olunca kısmını birtürlü yapamadım mod denedim olmadı yada başka bir yolmu var yardımlarınız için şimdiden teşekkürler iyi çalışmalar...

2=1+1

2ⁿ=(1+1)ⁿ=1+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+ . . . +C(n,n-2)+C(n,n-1)+1 (Binom açılımı)

2ⁿ-1=1+[C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+ . . . +C(n,n-2)+C(n,n-1)]

Köşeli parantez içindeki her terim n çarpanı barındırdığı için n ile bölünebilir. Buna n*K dersek

2ⁿ-1=1+n*K

1 kendinden başka hiçbir sayı ile bölünemeyeceği için n>1 için (2ⁿ-1) n ile bölünemez.

hocam parantezin içindeki herbir sayının n ile bölünebiliyo olması her zaman doğru olmaz.
örneğin C(6,3) , 6 ile bölünmez ya da C(9,3) de 9 ile bölünmez

zaten böyle birşey olsaydı her n için
2ⁿ≡2 (mod n) olurdu

ben şöyle düşünmüştüm
n tek olmak zorundadır bunu görüyoruz
n sayısı sorudaki koşula uyan en küçük sayı olsun yani
2ⁿ≡1 (modn)

k sayısı ise 2^k≡1 (modn) denkliğini sağlayan en küçük sayı olsun.
öyleyse k|n olmalıdır.
öyleyse 2^k≡1 (modk) olur , k≠n ise bu durum n sayısının seçimiyle çelişir
yani k=n dir.

Euler Teoreminden biliyoruzki (n,2)=1 olduğundan (n tek olduğundan)
2^φ(n)≡1 (modn)

φ(n)<n=k olduğuna göre bu da k sayısının seçimiyle çelişir çünkü k yı bu denkliği n modunda sağlayabilen en küçük sayı olarak seçmiştik.

sonuçta bu şekilde bir n sayısı yoktur.

gereksizyorumcu'den alıntı:

zaten böyle birşey olsaydı her n için
2ⁿ≡2 (mod n) olurdu

Doğru. Bu sorunun çok güzel bir ispatı vardı ama neydi :) Düşündüğünüz yöntem de doğrudur ama daha doğrudan bir ispatı vardı. Hatırlayınca mutlaka yazacağım.

sabri bey yaptığınız ispatta anlayamadığım iki nokta var açıklayabilirseniz sevinirim.
1.si

gereksizyorumcu'den alıntı:

n sayısı sorudaki koşula uyan en küçük sayı olsun yani

bu ifadeden biran için 2ⁿ-1 ifadesini bölen bir n sayısının olduğunumu varsayıyoruz?

2.si

gereksizyorumcu'den alıntı:

k sayısı ise 2^k≡1 (modn) denkliğini sağlayan en küçük sayı olsun.
öyleyse k|n olmalı

n tek sayı olduğundan
2^k≡1 (modn)şartını sağlayan en küçük k sayısı k=0 değilmi bu durum varken nasıl k bu şartı sağlayan en küçük sayı olsun seçimini yaptık? ayrıca neden k|n olmalı?
yazdıklarımda bir hata varsa nedir?
açıklamalarınız için şimdiden tesekkürler

ilk sorunuza gelirsek evet böyle bir sayının var olduğundan hareket edip çelşiki elde etmeye çalışıyoruz
bu koşula uyan en küçük doğal sayıyı ele alıyoruz (iyi sıralama ilkesi gereğince eğer böyle sayılar varsa bi tanesi bunlardan en küçük olanıdır)

şu an 2ⁿ≡1 (modn) noktsındayız

ayrıca 2 ile n in aralarında asal lması gerektiğii tespit ediyoruz ve diyoruzki k da
2^k≡1 (modn) denkliği sağlayan en küçük sayı olsun (tabi ki sıfır hariç)

2ⁿ≡2^k≡1 (modn) olduğuna göre

0≤b<k olacak şekilde
n=ak+b şekilliği olduğunda
2^ak+b=(2^k)^a.2^b≡1 (modn)
1^a.2^b≡1 (modn)
2^b≡1 (modn)

b<k olduğuna göre b=0 olmalıdır aksi takdide k sayısının en küçük olarak seçimiyle çelişir.

buradan n=ak olur yani k|n

şimdi k modunda 2^k sayısına bakarsak 1 e denk olduğunu görürüz buradan k nın da sorudaki koşulu sağlayan bir sayı olduğu ortaya çıkar ve k|n dir.
demekki k=n dir. (küçük olsa n nin seçimiyle çelişir)

yukarıdaki bölme mantığını kullanarak k|φ(n) olduğunu da gösterebiliriz ama bu mümkün değildir çünkü φ(n)<k=n

sonuç olarak en baştaki varsayımımız yanlıştır yani böyle bir n sayısı yoktur.